2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение21.07.2019, 21:17 


06/08/13
151
Здравствуйте, всем!
Вначале немного предыдстории к теме. В рамках своего предмета "Численные методы оптимизации" я решил перейти от стандартного изложения (методы поиска минимума абстрактной тестовой функции) к изложению в ключе "прямая - обратная задача". Например, есть функция $y= f(x)$. Если $x=x_0$ известно, а надо найти $y = f(x_0)$, то это прямая задача, а если наоборот, то это обратная задача. Получим некое уравнение. Чтобы его решить, можно попробовать применить аналитические либо численные методы, но так как предмет у нас методы оптимизации, то будем применять МНК и искать минимум полученной целевой функции. Вот такой подход. В общем, я перебрал обычные уравнения, системы уравнений и интегральные уравнеия. Дошёл до ОДУ и споткнулся.
Теперь собственно тема. Пусть имеется начальная заадча Коши: $y^{(1)} =f(x,y), y(x_0) = y_0$. По логике, если решать прямо в лоб, то целевая функция будет иметь вид $F = \int _{x_0}^{x_1} \left( y^{(1)} -f(x,y) \right)^2 dx$. Но как здесь учесть начальное условие?
В книжке по ЧМ Березина, Жидкова от 1959 года говорится, что такой же будет целевая функция, если решать краевую задачу $y^{(1)} =f(x,y), y(x_0) = y_0, y(x_1) = y_1$. Но как здесь учитываются краевые условия, мне тоже непонятно.
Конечно, можно перейти от ОДУ к ИУ Вольтерра 2-го рода или применить методы Рица, Галеркина, но как-то не хочется, если найдутся другие методы решения задачи. Хочется остаться, так сказать, в рамках единого подхода МНК.
Что-нибудь можете посоветовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение21.07.2019, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
robot80 в сообщении #1406324 писал(а):
По логике, если решать прямо в лоб,
Прежде всего вам следует выучить вариационное исчисление.

При целевой функции $F:= \int_{a}^b (y' -f(x,y))^2\,dx$ ОДУ будет $(y'-f(x,y))'=0, \text{ т.е. } y'-f(x,y)=C$ и будут два краевых условия. Если вы наложите дополнительное условие $y(a)=y_1$ в вариационной задаче, то эти уравнения будут сопровождаться краевыми условиями $y(a)=y_1$, $(y'-f(x,y))|_{x=b}=0\implies C=0$.

Подчеркиваю: если хотите заниматься подобными задачами--выучите вариационное исчисление, причем не по книгам, посвященным численным методам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение21.07.2019, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Red_Herring, кажется, экстремали функционала $F[y]$ будут решениями уравнения $$y''=\frac{\partial f}{\partial x}+f\frac{\partial f}{\partial y},$$ разве нет?

-- Вс июл 21, 2019 22:39:22 --

robot80 в сообщении #1406324 писал(а):
начальная заадча Коши
Задача Коши и есть начальная задача. То есть нужно просто "задача Коши".

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение21.07.2019, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
alcoholist в сообщении #1406341 писал(а):
разве нет?
Вы правы. Но правая часть будет $(f(x,y))' -(y'-f) \frac{\partial f}{\partial y}$ т.ч. уравнение переписывается как
$$
(y'-f)' = -(y'-f) \frac{\partial f}{\partial y}
$$
и с учетом условия на правом конце мы снова приходим к $y'-f(x,y)=0$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение21.07.2019, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Впрочем решения задачи Коши $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=f(x_0,y_0)$ для уравнений $y''=\frac{\partial f}{\partial x}+f\frac{\partial f}{\partial y}$ и $\left(y'-f(x,y)\right)'=0$ одинаковые. Являются решениями ЗК $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=x_0$, кто бы мог подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 06:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
alcoholist в сообщении #1406348 писал(а):
Впрочем решения задачи Коши
Нас же интересует вариационная задача, и там будет не задача Коши а двухточечная. Но как бы то ни было, вариационная задача с указанной целевой функцией и с условием $y(a)=y_0$ и свободным правым краем эквивалентна двухточечной задаче $y'' =f_x + ff_y$, $y(a)=y_0$, $(y'-f)|_{x=b}=0$, которая в свою очередь эквивалентна задаче Коши $y'=f$, $y(a)=y_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 08:29 


06/08/13
151
Здравствуйте, Red_Herring, alcoholist !
Спасибо за совет изучить вариационное исчиление более детально. Но боюсь, что если даже я это и сделаю, то моим студентам, которые НЕ математики и НЕ физики, а обычные студенты-технари среднего технического ВУЗа это не по зубам...
Кроме того, насколько я понимаю, целью вариационного исчисления является поиск минимума интегрального функционала. Для чего в простом варианте переходят к УЧП Эйлера, которое решают. У меня же всё наоборот: ОДУ (с задачей Коши) уже есть. И надо составить и на его основе интегральный либо какой-нибудь другой функционал (который бы учитывал задачу Коши), минимум которого и совпадёт с решением исходного ОДУ (с задачей Коши).
Насколько я понял из последнего сообщения Red_Herring,
Цитата:
вариационная задача с указанной целевой функцией и с условием $y(a)=y_0$ и свободным правым краем эквивалентна задаче Коши $y'=f$, $y(a)=y_0$.
. То есть функционал составлен правильно....
Проблема в том, что если перейти к сеточной задаче и искать минимум функции многих переменных (значений функции $y(x_k)$ в узлах), то минимум ищется хорошо, но не тот, что надо. Он соотвествует другому начальному условию. Минимум я ищу методом адаптивного случайного поиска (см. книгу по ЧМ Пантелеева, Летовой) без производных.

P.S. Теперь отвечу на замечания...
Red_Herring, я попробовал получить экстремаль заданного функционала, у меня получилось вот что:
(2) $(y' -f)_x+(y' - f) \cdot f_y =0 $.
Напоминает то, что записал alcoholist, но всё же не то... Видно, что решение исходного ДУ будет решением уравнения (2) независимо от начальных условий. А вот будет ли у уравнения (2) с заданным начальным условием ещё какие-нибудь решения - я не знаю. Видимо, поэтому нужный минимум у меня и не ищется...
alcoholist,
Цитата:
Задача Коши и есть начальная задача. То есть нужно просто "задача Коши".
Да конечно. Это уточнение у меня от преподавания осталось :D : если есть краевая задача Дирихле, то почему бы не быть начальной задаче Коши?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
robot80 в сообщении #1406384 писал(а):
а обычные студенты-технари среднего технического ВУЗа это не по зубам...
Прежде всего, это не сложно, недаром есть не слишком сложные учебники "ОДУ и Вариационное Исчисление".

Много десятилетий назад я учил в провинциальном техническом вузе и там специалистов с теплотехнических кафедр интересовали задачи оптимального контроля системами описываемыми ОДУ и УЧП (а первое на порядок сложнее простого вариационного исчисления, а второе еще на пару порядков), а с кафедры ОМД интересовали вариационные методы в задачах упругости и пластичности (что на несколько порядков сложнее вариационного исчисления).
robot80 в сообщении #1406384 писал(а):
Кроме того, насколько я понимаю, целью вариационного исчисления является поиск минимума интегрального функционала. Для чего в простом варианте переходят к УЧП Эйлера, которое решают. У меня же всё наоборот: ОДУ (с задачей Коши) уже есть. И надо составить и на его основе интегральный либо какой-нибудь другой функционал (который бы учитывал задачу Коши), минимум которого и совпадёт с решением исходного ОДУ (с задачей Коши). . То есть функционал составлен правильно....
Задачей вариационного исчисления я бы сказал является установления связи между вариационными задачами (а там не только функционал, но и множество, на котором ищется минимум, следует указать) и задачами для ОДУ.

Да, вы составили функционал правильно--и ни слова не сказали о множестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 12:21 


06/08/13
151
Цитата:
Да, вы составили функционал правильно--и ни слова не сказали о множестве

Множестве чего? Рассматриваемых функций? Или множестве, на котором эти функции определены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
robot80 в сообщении #1406392 писал(а):
Множестве чего? Рассматриваемых функций? Или множестве, на котором эти функции определены?

Red_Herring в сообщении #1406391 писал(а):
но и множество, на котором ищется минимум

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 13:28 


06/08/13
151
Ну, раз ищется функция, значит указанное множество - это множество функций.
Причём таких, что определены, нерерывны и дифференцируемы на отрезке решения ДУ $[x_0; x_1]$. Да, и ещё выполняется условие $y(x_0) = y_0$. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
robot80 в сообщении #1406400 писал(а):
Причём таких, что определены, нерерывны и дифференцируемы на отрезке решения ДУ $[x_0; x_1]$. Да, и ещё выполняется условие $y(x_0) = y_0$. Так?
Именно последнее условие у вас не упоминалось.

Его, кстати можно и опустить, но тогда выбрать функционал (а не "целевую функцию")
$$
F= \int_{x_0}^{x_1}\bigl(y'-f(x,y)\bigr)\,dy + N \bigl(y(x_0)- y_0\bigr)^2
$$
где последний член--наказание за нарушение начального условия и $N$ вес .

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 15:50 


06/08/13
151
Попробовал с таким функционалом (там квадрат ещё должен быть). Действительно, всё заработало!
Red_Herring, спасибо за беседу и подсказку :D .

Но вот любопытно, почему предыдущие попытки не сработывали? Ведь условие $y(x_0) = y_0$ у меня выполнялось автоматически: первый элемент массива значений определяемой функции был всегда равен $y_0$. А в процессе поиска менялись элементы этого массива, начиная со второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
robot80 в сообщении #1406420 писал(а):
Но вот любопытно, почему предыдущие попытки не сработывали?

ну я по численным методам не специалист, да и имплементацию вы не показали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод наименьших квадратов и ОДУ
Сообщение22.07.2019, 16:35 


06/08/13
151
Ну а как её покажешь? Код программы выложить?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group