В кристаллическую среду с симметрией

(кубическая группа симметрии без центра инверсии) внесен точечный заряд

. Определить потенциал поля этого заряда, учитывая нелинейную поляризацию среды во втором приближении. Результат представить в виде:

, где

. Здесь

и

-статическая диэлектрическая проницаемость и нелинейная оптическая восприимчивость второго порядка. Считать, что второе слагаемое в приведенном выражении представляет собой малую "добавку" к первой.
Пользуясь соображениями симметрии (см.
http://www.fulviofrisone.com/attachment ... dition.pdf), связь между компонентами векторов электрического смещения и напряженности поля можно представить в виде:

Воспользовавшись соотношениями

,

(здесь

-дельта-функция, "центрированная" на начало координат, в котором находится наш точечный заряд),

и вышеприведенной системой, получим:

В последнем выражении

-оператор Лапласа.
В принципе, теперь нужно подставлять в выражение в скобках лишь явное выражение для

("совать"

туда не нужно), переходить в сферическую систему координат и решать полученное ДУ. Однако, боюсь, что малая поправка

не будет уже сферически симметричной (будет зависеть от углов) и наше ДУ будет уравнением в частных производных. Как решать его-ума не приложу. Может быть стоит усреднить это уравнение по азимутальному и полярному углу и искать решение в сферическом приближении?? Прошу помочь разобраться с моими вопросами.