если нулевой идеал примарный

[beroal]

Вижу в учебнике утверждение:

Цитата:

(6.2) Примеры. (а) Пусть $R$ — коммутативное кольцо. Идеал $\{0\}$ — простой идеал тогда и только тогда, когда $R$ не имеет делителей нуля и примарный идеал тогда и только тогда, когда $R$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Насчёт простого идеала возражений нет. Утверждение о примарном идеале я не могу доказать, и некоторые фразы в интернете намекают, что или утверждение ложное, или я его не понимаю. Если не ошибаюсь,

Цитата:

$R$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов

эквивалентно «каждый нильпотент равен $0$».

[vpb]

Это же вроде просто почти по определению. Вы какую книжку читаете ? Может, у вас там определение примарности другое ?

[beroal]

vpb в сообщении #1403710 писал(а):

Может, у вас там определение примарности другое ?

Вот определение оттуда.

Цитата:

(6.1) Определение. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, и пусть $I\not =R$ — идеал $R$.

• (а) Будем называть $I$ простым идеалом, если из $ab\in I$ следует, что $a\in I$ или $b\in I$.
• (б) Будем называть $I$ примарным идеалом, если из $ab\in I$ и $a\not\in I$ следует, что $b^n\in I$ для некоторого $n\in \mathbb{N}$.

$0\not\in \mathbb{N}$

У меня получилось, что $I$ — примарный идеал тогда и только тогда, когда каждый $I$-несократимый элемент принадлежит радикалу $I$. $I$-несократимый элемент — это такой элемент $a$, что для некоторого $b\not\in I$ имеем $ab\in I$. Подставляя $\{0\}$ вместо $I$, получаем, что каждый несократимый элемент есть нильпотент. Как это мешает существовать ненулевому нильпотенту?

[vpb]

beroal
Действительно, утверждение ошибочно. Извините дедушку, склероз (ну, и у автора той книжки тоже, вероятно). В качестве примера возьмем кольцо ${\mathbb Z}_{p^2}$ (кольцо вычетов по модулю $p^2$). В нем каждый элемент или обратим, или нильпотентен, значит оно примарно. Но ненулевые нильпотенты таки есть.