Ковариантная производная и уравнение Дирака

[bayak]

Насколько я понимаю, в уравнение Дирака калибровочные взаимодействия включаются через довесок к частной производной от биспинорно-значной функции в пространстве Минковского. А как туда включить гравитационное взаимодействие, не переходя в псевдориманово многообразие, т. е., оставаясь в плоском пространстве-времени? Что, если модифицировать интеграл действия, из которого получается уравнение Дирака, например, заменить нулевую гамма-матрицу $\gamma_Х0Ъ$ на $\operatorname{diag}[e^{\varphi(x)},e^{\varphi(x)},-e^{-\varphi(x)},-e^{-\varphi(x)}]$, где $\varphi(x)$ - гравитационный потенциал в евклидовом пространстве наблюдателя? Тогда мы получим модифицированное уравнение Дирака. В свою очередь, ему должно соответствовать модифицированное уравнение Шредингера, в котором гравитация включается не через потенциал в гамильтониане, а через множитель $e^{\varphi(x)}$. Как вы думаете, есть тут какое-то рациональное зерно?

[Munin]

Таким образом можно изобразить скалярную гравитацию, а настоящая тензорная.

[bayak]

Замечание на счёт тензорного характера настоящей гравитации принимается, но полагаю, оно не существенно на том уровне, где работает уравнение Дирака. Хотя, по большому счёту, можно получить и тензорную гравитацию, если ещё больше модифицировать свертку биспинора и дуального ему биспинора. В самом деле, эта свёртка по сути есть скалярное произведение в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой, а скалярная гравитация ассоциирована с одновременным сжатием одного 4-мерного подпространства и растяжением другого, поэтому, задавая другие допустимые типы деформации 8-мерного пространства, не сложно получить и тензорную гравитацию.

[Gickle]

bayak в сообщении #1395892 писал(а):

оно не существенно на том уровне, где работает уравнение Дирака.

Уравнение Дирака прекрасно обобщается на случай искривлённого пространства-времени. Об этом можно почитать, скажем, в L.E. Parker, D.J. Toms: "Quantum Field Theory in Curved Spacetime". Ну или ещё много где. Можно даже с википедии начать: https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equ ... _spacetime

[bayak]

Gickle
посмотрите первый пост, где чётко сказано, что требуется уравнение Дирака в плоском пространстве.

[Gickle]

bayak в сообщении #1395916 писал(а):

посмотрите первый пост, где чётко сказано, что требуется уравнение Дирака в плоском пространстве.

Да, стартовый пост я особо не читал. Это было скорее к "уровню, где работает уравнение Дирака". Видимо, подразумевалось, что уравнение Дирака начинает "ломаться" раньше, чем эффекты ОТО становятся существенными. Этого я не понял, поскольку мне казалось, что уравнение Дирака прекрасно обобщается на случай искривлённого пространства-времени, на что ссылки и привёл.

Впрочем, это не моя специализация, так что, может, знающие сейчас поправят.

[Munin]

bayak в сообщении #1395916 писал(а):

чётко сказано, что требуется уравнение Дирака в плоском пространстве.

Интересно, то есть вы хотите уравнение Дирака в плоском пространстве, но не в плоском пространстве.

[Gickle]

Munin в сообщении #1395942 писал(а):

bayak в сообщении #1395916 писал(а):

чётко сказано, что требуется уравнение Дирака в плоском пространстве.

Интересно, то есть вы хотите уравнение Дирака в плоском пространстве, но не в плоском пространстве.

Как я понял, речь на самом деле шла о добавлении гравитации в виде скалярного потенциала, то есть ньютоновский предел ОТО.

[SergeyGubanov]

bayak в сообщении #1395811 писал(а):

А как туда включить гравитационное взаимодействие, не переходя в псевдориманово многообразие, т. е., оставаясь в плоском пространстве-времени?

Спинорная связность $\nabla_{\mu} \psi = \partial_{\mu} \psi + \Gamma_{\mu} \psi$ выражается через тетрадную связность ${\omega_{\mu}}_{a b}$:

$$ \Gamma_{\mu} = \frac{1}{8} {\omega_{\mu}}_{a b} \left[ \gamma^{(a)}, \gamma^{(b)} \right] $$

А тетрадная связность ${\omega_{\mu}}_{a b}$ даже в плоском пространстве-времени может быть не равна нулю. Поэтому включение гравитационного взаимодействия в уравнение Дирака в плоском пространстве времени делается точно так же как и в искривлённом пространстве-времени:

$$ i \gamma^{(a)} e^{\mu}_{(a)} \nabla_{\mu} \psi = m \psi $$

[bayak]

Да, наблюдатель у меня такой плоский-плоский. Он, конечно, понимает, что кругом всё такое кривое-кривое, но у него очень короткие руки и к тому же ровные. Что касается уровня, где работает уравнение Дирака, то имелся в виду микроуровень, на котором гравитация скорее всего скалярная величина и её тензорное обобщение не требуется.

[Munin]

bayak в сообщении #1395999 писал(а):

то имелся в виду микроуровень, на котором гравитация скорее всего скалярная величина

С чего это вдруг? Как тензорность может пропасть от масштаба?

[bayak]

SergeyGubanov, включения гравитации через связность как раз и хотелось бы избежать.

Munin, тензорность не пропадает, но на малом масштабе её можно не замечать.

[Munin]

И как можно на малом масштабе "не замечать тензорность"?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Мне больше нравились темы про намотку плоскости на сферу, они были масштабнее в идеях.

[Munin]

Сферы на тор! Всё-то вы перепутали!