Выпуклость квадратичного конуса

[demolishka]

При $n=3$ множество $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq x_{3}^{2}$, $x_{3} \geq 0,$ выпукло: для данных двух точек посмотрим на сечение конуса содержащей их плоскостью, которое либо гипербола, либо парабола, либо эллипс.
А будет ли выпуклым такое множество при $n \geq 4$? Т.е. будет ли в общем случае выпуклым множество

$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots + x^{2}_{n-1} \leq x_{n}^{2}, x_{n} \geq 0.$$

[Padawan]

Разве это не очевидно?

[alcoholist]

Все осевые двумерные сечения выпуклы

[Munin]

Предлагаю доказать, что сечение такого конуса /  $\begin{xy}*{(n-1)};p+L;+R**h@{-}\end{xy}$-плоскостью  / тьфу, конечно же, 2-плоскостью / будет либо гипербола, либо парабола, либо эллипс (не считая вырожденных случаев).

-- 24.05.2019 18:05:22 --

(Оффтоп)

В отечественной традиции более принято писать знаки $\leqslant$ и $\geqslant$ ... Эстетически они привычнее, по крайней мере мне.

[Red_Herring]

Самое простое исходить из определения выпуклости

[Munin]

(Я предлагаю доказать то, что предлагаю, не для решения исходной задачи, а просто для удовольствия. Исходная задача, разумеется, может быть решена многими способами, из которых это вряд ли простейший. Но некоторую интуицию (не выпуклых множеств, а квадратичных многообразий) поупражнять этим можно.)

[Padawan]

Munin в сообщении #1395041 писал(а):

либо гипербола, либо парабола, либо эллипс (не считая вырожденных случаев).

Нет, это неверно.

[Munin]

Поправился.

[demolishka]

Red_Herring в сообщении #1395044 писал(а):

Самое простое исходить из определения выпуклости

Я это дело изначально забросил, потому что не выпуклая функция. А сейчас посмотрел: да, Коши-Буняковский: $|x_{1} y_{1} + \ldots + x_{n} y_{n} | \leq x_{n+1} y_{n+1}$. Спасибо.

Padawan в сообщении #1395034 писал(а):

Разве это не очевидно?

Бывает, что заклинивает и все .

Munin в сообщении #1395041 писал(а):

Предлагаю доказать, что сечение такого конуса / $\begin{xy}*{(n-1)};p+L;+R**h@{-}\end{xy}$-плоскостью / тьфу, конечно же, 2-плоскостью / будет либо гипербола, либо парабола, либо эллипс (не считая вырожденных случаев).

Пусть плоскость задается как $\{ \alpha v_{1} + \beta v_{2} + v_{0} | \alpha,\beta \in \mathbb{R} \}$. Тогда в сечении получится КВП относительно $\alpha,\beta$ с определителем квадратичной формы равным $((v_{1},v_{1}) - 2v^{n}_{1}) ( (v_{2},v_{2}) - 2v^{n}_{2}) - ( (v_{1},v_{2}) - 2v^{n}_{1}v^{n}_{2})$. Ну последнее мало что дает, но раз у нас КВП, то ничего больше и не надо. Только сказать, почему неколлинеарным векторам $v_{1},v_{2}$ из конуса будут соответствовать невырожденные КВП. Сошлемся на очевидность .

[Munin]

На самом деле, надо ещё, чтобы $v_0$ был некомпланарен с $v_1,v_2,$ а то плоскость пройдёт через вершину конуса. И я не понял обозначений (индекс $n$ сверху) и как вы взяли определитель. Но да, по сути всё просто :-)

[alcoholist]

или перейдите к цилиндрическим координатам...

[svv]

Осью конуса назовём луч $x_1=x_2=...=x_{n-1}=0,\; x_n\geqslant 0$. Возьмём на поверхности конуса любую точку, кроме вершины. Построим в ней касательную к поверхности гиперплоскость. Возьмём то ограниченное гиперплоскостью замкнутое полупространство (из двух), в котором лежит ось конуса. Конус совпадает с пересечением всех таких полупространств. По-моему, этого достаточно для того, чтобы он был выпуклым.

[ewert]

А что такое конус вообще?... -- Вообще-то это объединение всех лучей, выходящих из начала координат и пересекающих некоторую фиксированную $(n-1)$-мерную фигуру -- "основание".

Очевидно, что для выпуклости конуса необходима выпуклость основания (или, что эквивалентно, выпуклость любого сечения, параллельного основанию, т.к. все они подобны). И выглядит в высшей степени правдоподобным, что этого и достаточно.

Ну так предположим, что конус не выпукл. Т.е. что для каких-то двух его точек на соединяющем их отрезке есть точка, не входящая в конус. Фиксируем гиперплоскость, параллельную основанию, в которой лежит эта точка. Пересечём эту гиперплоскость с двумерной плоскостью, проходящей через эти две точки и начало координат -- получим некоторую прямую. Лучи, проходящие через две исходные точки, пересекаются с этой прямой в двух каких-то точках. Эти точки по определению принадлежат сечению конуса, а вот соединяющий их отрезок прямой -- увы, не целиком. Т.е. основание не выпукло, ч.т.д.

[Munin]

Получается, что из определения выпуклости следует такая формулировка:

Если два луча, исходящие из одной точки, каждый лежит в данном выпуклом множестве,

то и весь плоский угол между ними тоже лежит в этом множестве.

(То есть, угол между этими лучами, в плоскости, натянутой на эти два луча.)
Если для таких двух лучей, лежащих в данном множестве, не весь плоский угол лежит в множестве,

то множество не выпукло.

Так?

(Разумеется, это не равносильно выпуклости, а более мелкий факт, поскольку лучи во множестве могут и не лежать.)

-- 25.05.2019 13:34:39 --

А вот так:

Если 2-мерная фигура лежит в множестве, и данное множество выпукло,

то и вся выпуклая оболочка данной фигуры (она тоже 2-мерна) тоже лежит в этом множестве.
Если для такой 2-мерной фигуры, лежащей в данном множестве, не вся её выпуклая оболочка лежит в множестве,

то множество не выпукло.

Равносильно ли это определению выпуклости?

(1-мерные фигуры есть частный случай 2-мерных. Дальше в этой формулировке можно заменить 2-мерные фигуры на $n$-мерные.)

То есть, можно ли полностью свести изучение выпуклости фигуры к изучению выпуклости её 2- ($n$-) мерных сечений?

[alcoholist]

Munin в сообщении #1395185 писал(а):

Равносильно ли это определению выпуклости?

Само определение выпуклости в ваших терминах -- это утверждение про 0-мерную фигуру "двоеточие"))

-- Сб май 25, 2019 13:56:08 --

Мы же считаем точку двумерной фигурой, правда? "Живет" же точка в двумерии.