Сильнее, чем Коши-Буняковский.

[arqady]

Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ таких, что $a+b+c+d=1$, докажите, что:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d+a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}\geq16.$$

[g______d]

(Помните, я писал про алгоритмическую разрешимость таких задач?)

In[6]:= FullSimplify[
 CylindricalDecomposition[{a > 0, b > 0, c > 0, 1 - a - b - c > 0, 
   1/a + 1/b + 1/c + 
     1/(1 - a - b - c + a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - a c) >= 16}, {a,
    b, c}]]

Out[6]= a > 0 && b > 0 && c > 0 && a + b + c < 1

[arqady]

Требуется ведь конструктивное доказательство, которое можно реализовать вручную в течение олимпиады.

[g______d]

arqady в сообщении #1390641 писал(а):

Требуется ведь конструктивное доказательство.

Этот алгоритм можно модифицировать так, чтобы он выдавал конструктивное доказательство, просто оно будет очень длинным (он именно проводит формальное доказательство, а не численную проверку). Я не претендую на вклад в решение, просто показалось забавным, что он уже реализован, и я решил поделиться.