Предел функции двух переменных

[ExtreMaLLlka]

$\lim_{\substack{ x \to 1 \\ y \to -1 }}\frac{ x^2y^3+1 }{ x^3+y^3 }$
Можно ли сделать замену $x=t+1, y=t-1, t \to 0$ ?
Подставить и решить так
$\lim_{\substack{ t \to 0 }}\frac{ (t+1)^2(t-1)^3+1 }{ (t+1)^3+(t-1)^3 }=\frac{1}{6}$

[EUgeneUS]

ExtreMaLLlka
Попробуйте какую-нибудь другую замену.
Например $x=t+1, y=2t-1$
Что получится?

[nnosipov]

ExtreMaLLlka в сообщении #1388197 писал(а):

Можно ли сделать замену $x=t+1, y=t-1, t \to 0$ ?

Конечно, нельзя. Ведь этим Вы связываете $x$ и $y$, а им положено стремиться к своим предельным значениям независимо друг от друга.

[EUgeneUS]

nnosipov

(Оффтоп)

Вы, конечно, совершенно правы.
Но подобный метод: взять предел по одному пути, потом по другому - довольно часто приводит к доказательству того, что предел не существует.
Что и имеем в данном примере.

[nnosipov]

(Оффтоп)

EUgeneUS
И Вы тоже правы: я не успел заметить, что функция "беспредельничает". В то же время, студенты (имхо) склонны искать ответ даже там, где его нет, и выдавать за него первое, что подвернется под руку.

[ExtreMaLLlka]

Спасибо)) подсказки помогли))