Исследовать ряд на сходимость

[Ёж]

Нужно исследовать ряд на сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{\sqrt{n}}}$.
Признак Даламбера и радикальный признак Коши не дают ответа. Подскажите, пожалуйста, как исследовать данный ряд на сходимость?

[Lia]

Признак сравнения.

[demolishka]

Ёж в сообщении #1386799 писал(а):

Признак Даламбера и радикальный признак Коши не дают ответа.

Не удивительно: эти признаки сравнивают общий член ряда с общим членом некоторой геометрической прогрессии. А у Вас общий член ряда не похож на геометрическую прогрессию, т. к. слишком медленно убывает. Побороть это очень просто: нужно суммировать по отрезкам. По каким -- подумайте сами.

[alcoholist]

demolishka в сообщении #1386830 писал(а):

общий член ряда не похож на геометрическую прогрессию

Ёж
А какие еще "базовые" сходящиеся ряды вам известны?

[ewert]

Ёж в сообщении #1386799 писал(а):

Нужно исследовать ряд на сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{\sqrt{n}}}$.
Признак Даламбера и радикальный признак Коши не дают ответа.

Но ведь есть ещё и тупо интегральный признак (обычно тоже Коши, хотя и напрасно, ибо путаницы).