Математический софизм о гармоническом ряде

[Ktina]

Якобы альтернативное доказательство расходимости гармонического ряда:

Итак, предположим, что гармонический ряд сходится и его сумма равна некоторому положительному вещественному $a$. Тогда сумма сумма всех членов ряда с чётными знаменателями равна $\dfrac{a}{2}$. Но в таком случае, с одной стороны, сумма сумма всех членов ряда с нечётными знаменателями также равна $a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}$. А с другой стороны, сумма сумма всех членов ряда с нечётными знаменателями должна быть больше суммы всех членов ряда с чётными знаменателями, так как $\dfrac{1}{1}>\dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{4},\; \dfrac{1}{5}>\dfrac{1}{6}$ и так далее. Мы получили противоречие, следовательно, гармонический ряд сходиться не может.

Что здесь не так?

[Anton_Peplov]

Ktina в сообщении #1384419 писал(а):

Тогда сумма сумма всех членов ряда с чётными знаменателями равна $\dfrac{a}{2}$.

Из чего это следует?

[Ktina]

Anton_Peplov в сообщении #1384421 писал(а):

Ktina в сообщении #1384419 писал(а):

Тогда сумма сумма всех членов ряда с чётными знаменателями равна $\dfrac{a}{2}$.

Из чего это следует?

Возьмём гармонический ряд (его сумма, по предположению, равна $a$). Разделим каждый член на 2. Получим ряд с чётными знаменателями и суммой $\dfrac{a}{2}$.

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1384421 писал(а):

Ktina в сообщении #1384419 писал(а):

Тогда сумма сумма всех членов ряда с чётными знаменателями равна $\dfrac{a}{2}$.

Из чего это следует?

Как-то даже стыдно видеть такой вопрос...

[Anton_Peplov]

Звыняйте. Туплю в оное время суток.

[Otta]

Сумма - это предел последовательности частичных сумм. При переходе к пределу в неравенстве оно превращается в нестрогое. Сумма по нечетным слагаемым не меньше $a/2$. Дальше?

[Ktina]

Otta в сообщении #1384430 писал(а):

Сумма - это предел последовательности частичных сумм. При переходе к пределу в неравенстве оно превращается в нестрогое. Сумма по нечетным слагаемым не меньше $a/2$. Дальше?

А почему «не меньше», а не «больше»?

[Otta]

Потому что при переходе к пределу сохраняются нестрогие неравенства.

$1/n>0$ Почему предел не больше?

[Ktina]

Otta в сообщении #1384432 писал(а):

$1/n>0$ Почему предел не больше?

Да, пожалуй, Вы правы.
Тогда такой вопрос. Можно ли доработать, подретушировать моё «доказательство» таким образом, чтобы оно стало доказательством? Или безнадёжный случай?

[Otta]

Да это не я права. Эти банальности на первом курсе проходят.
Случай безнадежный.

[provincialka]

Вот так совпадение! Как раз сегодня* подумала, нет ли чего-нибудь такого... (давала студентам задачку про сумму обратных квадартов, обычную и знакочередующуюся)

А если так модифицировать:
Пусть гармонический ряд сходится, тогда сходимость знакочередущегося гармонического абсолютная и можно переставлять слагаемые. Сумма знакочередующегося ряда будет равна $a-2\cdot\frac{a}{2}=0$. В то же время сумма $1-\frac12+\frac13-... = (1-\frac12)+(\frac13-\frac14)... >1-\frac12$ состоит из положительных слагаемых и нулем быть не может.

*ну, собственно, вчера После полуночи я студентов как-то не вижу ...

[Otta]

А так, по-моему, все честно.

(Оффтоп)

Но вообще я сплю. )) Так что за адекватность показаний не ручаюсь.

[Ktina]

Otta в сообщении #1384434 писал(а):

Да это не я права. Эти банальности на первом курсе проходят.
Случай безнадежный.

А не могли бы Вы привести пример двух положительных рядов с равными суммами, но чтобы каждый $k$-тый член первого ряда был строго больше каждого $k$-того члена второго ряда при всех натуральных $k$?

[mihaild]

Otta в сообщении #1384430 писал(а):

При переходе к пределу в неравенстве оно превращается в нестрогое.

У нас же везде неравенства строгие с зазором (и даже растущим) - сумма первых $n$ нечетных слагаемых больше суммы первых $n$ четных не меньше чем на $\frac{1}{2}$.

Я вообще не вижу проблем в исходном доказательстве. Более формально будет так:
$A_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2k - 1}$, $B_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2k}$, $S_n = A_n + B_n$. Т.к. все члены гармонического ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда у $S_n$ есть предел (равный $S$).
Если у $S_n$ есть предел, то есть пределы и у $A_n$ и у $B_n$ (как у монотонных ограниченных последовательностей), обозначим эти пределы как $A$ и $B$. Тогда $S = A+B$.
Т.к. $\frac{S_n}{2} = B_{2n}$, то $S = 2B$. Значит $A = B$.
Но $A_n \geqslant B_n + \frac{1}{2}$ при $n \geqslant 1$. Значит и $A \geqslant B + \frac{1}{2} = B$.

[Ktina]

mihaild
Большое Вам спасибо!

-- 28.03.2019, 02:00 --

mihaild, моя просьба к Otta привести пример двух положительных рядов с равными суммами... как раз и является выражением неуверенности в её правоте.