Метод научного тыка

[Damonov]

Общее доказательство теоремы Ферма

Рассечём средний куб B на восемь равных частей, большой куб C рассечём на 27 равных частей, а малый куб A оставим таким, какой он есть.
У нас образовались три вида элементарных кубиков, из которых сложены наши кубы:

Элементарный кубик $a^3$, он же малый куб A.
Элементарный кубик $(b/2)^3$, коих в среднем кубе B насчитывается восемь штук.
Элементарный кубик $(c/3)^3$, коих в большом кубе C насчитывается 27 штук.

Суть рассуждений сводится к доказательству невозможности ни одного из следующих трёх вариантов.

1). Элементарный кубик $a^3$ не может быть самым маленьким.
2). Элементарный кубик $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким.
3). Элементарный кубик $(c/3)^3$ не может быть самым маленьким.

Условия содержат всего два пункта.

1. Использовать можно только одинаковые кубики.
2. В два малых куба надо закладывать ровно столько же кубиков, сколько кубиков на том же шаге закладывается в большой куб.

Далее действуем следующим раскладом: в малый куб заложим 1 элементарный кубик, в средний куб заложим 8 элементарных кубиков, в большой куб заложим 9 элементарных кубиков.

1 кубик + 8 кубиков = 9 кубиков

1-й этап. Убедимся, что элементарный кубик $a^3$ не может быть самым маленьким.

Применим следующий расклад.

1 кубик $(c/3)^3$ + 8 кубиков $(c/3)^3$ = 9 кубиков $(c/3)^3$

Большой куб C заполнен ровно на треть. Следовательно, один из двух малых кубов заполнен менее чем на треть, а второй – более чем на треть.
Ясно, что менее чем на треть должен быть заполнен именно средний куб B, ведь малый куб A, поскольку он самый маленький из трёх, уже и так переполнен.

$b^3 - 8(c/3)^3 < b^3/3$

Откуда следует: $9b^3 < 4c^3$, что невозможно, поскольку средний куб B должен составлять более половины объёма большого куба С: $8b^3 > 4c^3$.

Вывод 1. Элементарный кубик $a^3$ не может быть самым маленьким из трёх, ибо в этом случае объём большого куба превосходит суммарный объём двух малых кубов.

2-й этап. Тот факт, что элементарный кубик $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким, видно сразу по окончании следующей закладки:

1 кубик $(b/2)^3$ + 8 кубиков $(b/2)^3$ = 9 кубиков $(b/2)^3$

В самом деле, при закладке одного кубика $(b/2)^3$ в малый куб А, восьми таких же кубиков в средний куб В, и девяти кубиков в куб С, большой куб С заполнится менее чем на треть, ведь в нём даже один нижний слой остаётся не до конца занятым. Тогда как средний куб, составляющий больше половины объёма С, уже исчерпал свою вместимость.

Вывод 2. Если элементарный кубик $(b/2)^3$ является самым маленьким, объём большого куба превосходит суммарный объём двух малых кубов.

3-й этап. Убедимся, что элементарный кубик $(c/3)^3$ не может быть самым маленьким из трёх.

Применим тот же расклад, что и на первом этапе.

1 кубик $(c/3)^3$ + 8 кубиков $(c/3)^3$ = 9 кубиков $(c/3)^3$

Большой куб C заполнен ровно на треть. Свободный объём в нём должен быть равен суммарному свободному объёму в двух малых кубах.
Далее поступим следующим образом. Приведём объём малого куба А к площади основания элементарного кубика $(c/3)^3$, то есть к площади квадрата величиной $(c/3)^2$. Малый куб А вытянется на высоту $h_A$:

$a^3 = (c/3)^2h_A$

Найдём высоту растянутого куба A.

$h_A = 9a^3/c^2$

Точно так же поступим с кубом В, сжав его в поперечнике до площади основания элементарного кубика $(c/3)^3$, то есть до площади квадрата величиной $(c/3)^2$. Куб B вытянется на высоту $h_B$:

$b^3= (c/3)^2h_B$

Найдём высоту растянутого куба B.

$h_B = b^3/(c/3)^2 = 9b^3/c^2$

На высоте $h_A$, составляющей теперь полную высоту малого куба А, находится таким образом, один уже заложенный элементарный кубик $(c/3)^3$ высотой $c/3$. А весь остальной объём, остающийся свободным, находится выше этого кубика.

На высоте $h_B$, составляющей полную высоту куба B, располагаются наставленные друг на друга восемь элементарных кубиков $(c/3)^3$ общей высотой $8c/3$. А всё, что выше, свободно.

Приравняем свободные объёмы, остающиеся в двух малых кубах, свободному объёму в большом кубе. Для этого теперь достаточно обойтись высотами, если выложить по высоте все кубики друг на друга, потому что у всёх трёх объёмов окажется одинаковая площадь основания, являющаяся квадратом $(c/3)^2$. В большом кубе остаются свободными 18 кубиков.

$h_A$$-(c/3)$ + $h_B$$-8(c/3)$ = $18(c/3)$

$3a^3 + 3b^3 = c^3$

Вывод 3. Если элементарный кубик $(c/3)^3$ является самым маленьким из трёх, то объём большого куба C ровно в три раза превышает суммарный объёма двух малых кубов A и B.

Коль скоро большой куб С всегда превышает суммарный объём двух малых кубов, тем более утверждение Ферма справедливо для более высоких степеней $n$.

Теорема доказана.
Или нет?

[follow_the_sun]

Damonov

Damonov в сообщении #1380198 писал(а):

Суть рассуждений сводится к доказательству невозможности ни одного из следующих трёх вариантов.

1). Элементарный кубик $a^3$ не может быть самым маленьким.
2). Элементарный кубик $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким.
3). Элементарный кубик $(c/3)^3$ не может быть самым маленьким.

Я так понял, самый маленький=имеет самую меньшую сторону, значит речь идет о выборе из трех чисел наименьшего. Не могу понять вашу логику, аксиома сравнения заложена в основе построения множества действительны чисел, так почему ни один из трех вариантов не реализуется?

[Someone]

Damonov в сообщении #1380198 писал(а):

Теорема доказана.
Или нет?

Какая теорема? Что $1+8\neq 27$? Нет, не доказана: когда Вы пишете, что $1+8=9$ кубиков не заполняют большой куб, Вы как раз пользуетесь тем, что $1+8\neq 27$ (на самом деле даже более сильным утверждением, что $1+8<27$). В результате возникает так называемый порочный круг, и доказательства не получается. В доказательстве теоремы запрещается ссылаться на неё же.

А причём тут теорема Ферма? Поиск в интернете даёт https://studopedia.ru/14_43189_teorema-ferma.html. Там никаких кубов нет, зато есть производная.

[Damonov]

follow_the_sun в сообщении #1380217 писал(а):

Damonov

Damonov в сообщении #1380198 писал(а):

Суть рассуждений сводится к доказательству невозможности ни одного из следующих трёх вариантов.

1). Элементарный кубик $a^3$ не может быть самым маленьким.
2). Элементарный кубик $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким.
3). Элементарный кубик $(c/3)^3$ не может быть самым маленьким.

Я так понял, самый маленький=имеет самую меньшую сторону, значит речь идет о выборе из трех чисел наименьшего. Не могу понять вашу логику, аксиома сравнения заложена в основе построения множества действительны чисел, так почему ни один из трех вариантов не реализуется?

На сайте "Философский штурм" я дал другую формулировку.
Не существует таких кубиков (или вообще таких физических объектов), которые можно было бы уложить в пространстве в виде кубов таким образом, чтобы объём одного тела был равен сумме двух других.
Потому что так ОБЪЕКТИВНО устроено пространство. На том же сайте есть книга "Дихотомическая структура пространства-времени". Она всё объясняет.

-- 06.03.2019, 23:48 --

Someone в сообщении #1380232 писал(а):

Damonov в сообщении #1380198 писал(а):

Теорема доказана.
Или нет?

Какая теорема? Что $1+8\neq 27$? Нет, не доказана: когда Вы пишете, что $1+8=9$ кубиков не заполняют большой куб, Вы как раз пользуетесь тем, что $1+8\neq 27$ (на самом деле даже более сильным утверждением, что $1+8<27$). В результате возникает так называемый порочный круг, и доказательства не получается. В доказательстве теоремы запрещается ссылаться на неё же.

А причём тут теорема Ферма? Поиск в интернете даёт https://studopedia.ru/14_43189_teorema-ferma.html. Там никаких кубов нет, зато есть производная.

Один, восемь и двадцать семь - это не кубы. Это даже не рёбра кубов. 1, 8 и 9 - это просто числа, входящие в состав уравнения, являющегося справедливым.
Разве трудно поделить кубы описанным мною способом?

[follow_the_sun]

Damonov

что значит "уложить"?

[Damonov]

follow_the_sun в сообщении #1380249 писал(а):

Damonov

что значит "уложить"?

То же самое, что мы делаем, когда играем с детскими кубиками. Ничего больше, не надо усложнять. Нет ничего проще этой теоремы.

[follow_the_sun]

Damonov
но я могу уложить на столе два кубика, померить их длину, ширину и высоту и сделать параллелепипед, объем которого будет равен сумме объемов кубиков.

[Damonov]

follow_the_sun в сообщении #1380252 писал(а):

Damonov
но я могу уложить на столе два кубика, померить их длину, ширину и высоту и сделать параллелепипед, объем которого будет равен сумме объемов кубиков.

Не существует такого ЧИСЛА параллелепипедов, из которых можно было бы собрать кубы в том смысле, чтобы во всех трёх пространственных измерениях находилось бы одинаковое их ЧИСЛО. 2 на 2 на 2 = куб. 2 на 2 на 3 - это не куб. Можете сложить куб даже из яблок или верблюдов.

[Someone]

Damonov в сообщении #1380245 писал(а):

Один, восемь и двадцать семь - это не кубы. Это даже не рёбра кубов. 1, 8 и 9 - это просто числа, входящие в состав уравнения, являющегося справедливым.

Какого "уравнения"? $1+8=27$? (Поскольку у Вас указаны числа "один, восемь и двадцать семь", я считаю, что речь идёт именно об этих трёх числах, а "$9$" — очевидная опечатка.) Вы считаете это "уравнение" справедливым?

Но Вы так и не объяснили, какую из многочисленных теорем Ферма Вы собрались доказывать с помощью детских кубиков.

Damonov в сообщении #1380245 писал(а):

Не существует таких кубиков (или вообще таких физических объектов), которые можно было бы уложить в пространстве в виде кубов таким образом, чтобы объём одного тела был равен сумме двух других.
Потому что так ОБЪЕКТИВНО устроено пространство.

Вы знаете, у Ферма много теорем, но ни в одной их них ничего не говорится о каких-либо физических объектах. Везде речь идёт о числах или о функциях. Да и вообще в математике нет никаких физических объектов.

Damonov в сообщении #1380245 писал(а):

На сайте "Философский штурм"

Вы зря сюда пришли. Вам тут не понравится. Здесь философов, лезущих в математику и физику, сильно не любят. За патологическое и агрессивное невежество.

[Damonov]

Цитата:

Какого "уравнения"? 1+8=27?

Вы приписываете мне то, чего я не утверждал.
Я утверждал следующее:
$1x^3=a^3$

$8y^3=b^3$

$27z^3=c^3$

$1x^3+8y^3=9z^3$

Цитата:

Но Вы так и не объяснили, какую из многочисленных теорем Ферма Вы собрались доказывать с помощью детских кубиков.

Великую, разумеется. Данный форум посвящён именно ей, он так и называется "Великая теорема Ферма".

Цитата:

Здесь философов, лезущих в математику и физику, сильно не любят. За патологическое и агрессивное невежество.

Голословные обвинения - это и есть "патологическое и агрессивное невежество". Нашли математическую ошибку - укажите на неё.

[Lia]

Damonov
Если Вы хотите указаний на математическую ошибку - напишите математический текст математическим языком.

[Damonov]

Цитата:

Если Вы хотите указаний на математическую ошибку - напишите математический текст математическим языком.

Ок, займусь в ближайшее же время.
Хотя не могу взять в толк, что здесь может быть непонятного для математиков. Ведь этот текст не выходит за рамки школьной алгебры.

[Lia]

Пустое множество тоже не выходит за рамки произвольного.

Переношу в Карантин, занимайтесь.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

На переработку. К правке доступен последний пост.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.