Несократимая рациональная дробь является корнем многочлена

[SpiderHulk]

Доказать, что если несократимая рациональная дробь $p/q$ является корнем многочлена $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... +a_0$ с целыми коэффициентами, то $a_0$ делится на $p$

Условие $f(p/q)=0$ можно записать в виде $a_0 q^n+a_1 p q^{n-1} + a_2 p^2 q^{n-2} + ... + a_n p^n = 0$ Все слагаемые в левой части, кроме первого, кратны $p$, значит, и $a_0 q^n$ делится на $p$. Почему "значит" ? Для меня это не очевидно

[Lia]

SpiderHulk
Условие задачи наберите здесь, пожалуйста.

-- 03.03.2019, 21:10 --

SpiderHulk в сообщении #1379629 писал(а):

Все слагаемые в левой части, кроме первого, кратны $p$, значит, и $a_0 q^n$ делится на $p$. Почему "значит" ? Для меня это не очевидно

И что тут неочевидного? Все, кроме первого слагаемого, переносим в одну часть... даже и не знаю, куда дальше жевать.

[SpiderHulk]

Lia в сообщении #1379631 писал(а):

И что тут неочевидного?

$a_0 q^n = - (a_1 p q^{n-1}+ ... +a^n p^n)$

$a_0 q^n = - (a_1 q^{n-1}+ ... +a^n p^{n-1}) p$

$a_0 q^n / p = - (a_1 q^{n-1}+ ... +a^n p^{n-1}) $


Так?

[Lia]

Не надо делить, тем более, во второй строке Вы ошиблись. Можно делить, но не надо. Рассуждайте на языке "делится - не делится".

-- 03.03.2019, 21:26 --

SpiderHulk в сообщении #1379635 писал(а):

Так?

Так. И что, все еще неочевидно?

[SpiderHulk]

Lia в сообщении #1379637 писал(а):

Вы ошиблись

Исправил

-- 03.03.2019, 19:33 --

$a_0 / p = - (a_1 q^{n-1}+ ... +a^n p^{n-1}) / q^n $

Теперь для меня не очевидно, что правая часть является целым числом

[Lia]

SpiderHulk
А Вам никто не обещал, что она будет целым числом (будет, но для доказательства это не нужно).
Куда Вас понесло?

SpiderHulk в сообщении #1379635 писал(а):

$a_0 q^n = - (a_1 q^{n-1}+ ... +a^n p^{n-1}) p$

Сюда смотрим и вспоминаем, что нам вообще нужно.

[SpiderHulk]

Lia в сообщении #1379644 писал(а):

А Вам никто не обещал, что она будет целым числом

Как же нет? Надо доказать, что $a_0$ делится на $p$, частное при этом должно быть целым числом

[follow_the_sun]

SpiderHulk
$a_0=-\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}a_kp^kq^{n-k}}{q^n}$
мб так более наглядно

[Lia]

SpiderHulk в сообщении #1379648 писал(а):

Как же нет? Надо доказать, что $a_0$ делится на $p$, частное при этом должно быть целым числом

Еще раз: будет, но для доказательства это не нужно.
Занимайтесь той строкой, которая была мной процитирована. Еще раз:

SpiderHulk в сообщении #1379635 писал(а):

$a_0 q^n = - (a_1 q^{n-1}+ ... +a^n p^{n-1}) p$

-- 03.03.2019, 21:58 --

follow_the_sun
Не сбивайте ТС, уже и так некуда.

[SpiderHulk]

Подумаю над этим завтра, что то совсем уже голова не варит

[bot]

SpiderHulk, дробь $\frac pq$ несократима, то есть $p$ и $q$ взаимно просты. Что тогда вытекает из равенства $aq=bp$?

[Lia]

ТС еще не добрался до этого. ТС пытается понять, почему из равенства $A=Bc$ следует, что $A$ делится на $c$.

[bot]

Опа, и в самом деле! Ну дык, может просто тогда спросить, а что означает делимость $A$ на $c$?

[SpiderHulk]

Lia в сообщении #1379644 писал(а):

Сюда смотрим и вспоминаем, что нам вообще нужно

Нам нужно показать, что результатом деления $a_0$ на $p$ является целое число

[Lia]

Нам нужно прочитать определение делимости. Давно.