Площадь в полярных интегралах.

[mr.vopros]

Не могу разобраться с площадью, помогите, пожалуйста.

Вычислить площадь фигуры в полярных координатах, заданную условиями: $r\ge 3$, $r=6\cos(2\phi)$

Если решить неравенство $6\cos(2\phi)\ge 3$, решение будет $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le \phi<\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$

Я подозреваю, что нужно вычислить интеграл:

$S=0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}(...)d\phi$

Но вопрос в том, можно ли такие пределы интегрирования оставить или нет? Вроде как пределы должны быть подмножеством $[0;2\pi]$

[Otta]

mr.vopros в сообщении #1379437 писал(а):

решение будет $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le \phi<\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$

Не будет.

mr.vopros в сообщении #1379437 писал(а):

Вроде как пределы должны быть подмножеством $[0;2\pi]$

Достаточно понимать, что при этом хотят. Хотят взять полностью все множество, лежащее в плоскости, и не успеть наложить на себя хотя бы частично. То есть промежуток должен быть подмножеством отрезка длины $2\pi$. И не более.

[mr.vopros]

Извините, исправляюсь, $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\le \phi \le \dfrac{\pi}{6}+\pi n$

-- 02.03.2019, 23:09 --

Спасибо, понятно.

Правильно ли будет, что интеграл такой?

$S=0,5\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}(36\cos^2(2\phi)-9)d\phi$

[Otta]

Ну и какие пределы будут на плоскости, чтобы всё, но без перехлеста?

mr.vopros в сообщении #1379441 писал(а):

Правильно ли будет, что интеграл такой?

Не вполне. Попробуйте Вашу фигуру нарисовать, что ли, если так не прикидывается. Хотя в данном случае это необязательно. Только если не удается прикинуть.

[mr.vopros]

У меня так получилось..

[Otta]

Ну плохо получилось, на ЕГЭ бы пролет был по тригонометрическим неравенствам. Решения теряются.

[mr.vopros]

Ааа... Еще нужно отразить относительно оси $oY$ картинку, площадь будет в 2 раза больше!!! Правильно?

[Otta]

Правильно. Если понятно, почему нужно.

[mr.vopros]

Да, спасибо! Формальное приписывание $2\pi$ вышло боком