Исследовать на сильную и слабую сходимость

[AnthonyP]

В $C[0,1]$ исследовать $x_n(t)=nt^2 e^{-nt^2}$
Максимум достигается в $\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$, тогда
$\left\lVert x \right\rVert = x_n(\frac{1}{\sqrt{n}}) = e^{-1}$
О чем это говорит? Что есть сильная сходимость к $e^{-1}$?

[Mikhail_K]

AnthonyP в сообщении #1376681 писал(а):

исследовать

Что именно исследовать? Напишите.

AnthonyP в сообщении #1376681 писал(а):

Что есть сильная сходимость

А что такое сильная сходимость? И к чему такая сходимость может быть? Напишите определение. Не будет бесполезным ещё вспомнить, что такое поточечная сходимость и как она с сильной связана.

[thething]

Сперва надо определиться с понятиями. Для начала, какая сходимость называется сильной. Потом выяснить к чему указанная последовательность сходится поточечно и проверить, выполняется ли определение сильной сходимости. Если да, то задача решена. Если нет, то написать и проверить определение слабой сходимости. Когда определитесь с понятиями, нелишне будет вспомнить общий вид функционала в $C[0,1]$ и теорему о предельном переходе под знаком интеграла Римана-Стилтьеса (ту, про функции, ограниченные в совокупности).

[AnthonyP]

Сильная сходимость:
$x_n \to x$, если $\left\lVert x_n - x \right\rVert \to 0$
Поточечный предел. При фиксированном $t$ и при $n\to \infty$ равен $0$

Получается, что сильной нет. Но есть слабая к $0$?

[Mikhail_K]

AnthonyP в сообщении #1376697 писал(а):

Получается, что сильной нет.

Откуда Вы сделали такой вывод? Что Вы проверяли для этого?

[AnthonyP]

Mikhail_K
$x=0$ - поточечный предел
$\left\lVert x_n - x \right\rVert = \left\lVert x_n - 0 \right\rVert = \left\lVert x_n \right\rVert = \max\limits_{t \in [0,1]}\left\lvert x_n(t) \right\rvert = x_n(\frac{1}{\sqrt{n}})=\frac{1}{e}$
Не выполняется условие сильной сходимости

[Mikhail_K]

AnthonyP
Ну да.
Меня насторожила формулировка в Вашем первом сообщении о "сильной сходимости к $e^{-1}$".
Вам понятно теперь, что сильная сходимость бывает к функции (т.е. к элементу пространства $C[0,1]$), а не к числу?
Как и поточечная, впрочем.
И $x=0$ в Вашем последнем сообщении - это не число $0$, а функция, тождественно равная нулю (она же - нулевой элемент в $C[0,1]$).

Кстати, а почему не может быть сильной сходимости к какой-нибудь другой функции, не к нулевой? Вы проверили ведь только, что нет сильной сходимости к $x=0$. На основании чего делаете отсюда вывод, что сильной сходимости вообще нет? Это стоит проговорить явно.

Насчёт слабой сходимости - стоит вспомнить критерий таковой в $C[a,b]$.

[AnthonyP]

Mikhail_K в сообщении #1376702 писал(а):

Кстати, а почему не может быть сильной сходимости к какой-нибудь другой функции, не к нулевой? Вы проверили ведь только, что нет сильной сходимости к $x=0$. На основании чего делаете отсюда вывод, что сильной сходимости вообще нет? Это стоит проговорить явно.

Понял

Mikhail_K в сообщении #1376702 писал(а):

Насчёт слабой сходимости - стоит вспомнить критерий таковой в $C[a,b]$.

Вы про $\sup\limits_{n} \left\lVert x_n - x \right\rVert < \infty$, значит есть слабая сходимость к функции, равной нулю?


Upd
Нужно было исследовать на сходимость последовательность функций
Слабая сходимость:
$x_n \to x$, если $f(x_n)\to f(x)$

Upd2
Такой критерий?
$\left\lVert x_n \right\rVert$ ограниченны константой. И $f(x_n)\to f(x)$ для любого $f$? Первое, вроде как, выполняется. А что делать со вторым? Какой можно взять функционал, чтобы проверить сходимость?

[Slav-27]

AnthonyP в сообщении #1376697 писал(а):

Получается, что сильной нет. Но есть слабая к $0$?

Да.

Лучше говорить не "слабая" и "сильная" сходимость, а "поточечная сходимость" и "сходимость по норме максимум по отрезку" (потому что слова "сильная" и "слабая" в разных местах могут означать много чего).

Пока вы проверили, что при фиксированном $t$ и $n\to \infty$ сходится к нулю; это, по определению, означает, что последовательность поточечно сходится к нулю. Потом вы проверили, что по норме "максимум модуля по отрезку" последовательность к нулю не сходится (показав, что последовательность норм к нулю не сходится).

Теперь надо понять, чего вам ещё хочется.

-- 17.02.2019, 23:01 --

AnthonyP в сообщении #1376705 писал(а):

Вы про $\sup\limits_{n} \left\lVert x_n - x \right\rVert < \infty$, значит есть слабая сходимость к функции, равной нулю?

Поточечная сходимость есть, но этот супремум тут ни при чём.

[Mikhail_K]

Slav-27 в сообщении #1376720 писал(а):

Лучше говорить не "слабая" и "сильная" сходимость, а "поточечная сходимость" и "сходимость по норме максимум по отрезку" (потому что слова "сильная" и "слабая" в разных местах могут означать много чего).

Стоп.
Слабая сходимость и поточечная - не совсем одно и то же.
Насколько я понимаю, если речь идёт о функционалах или операторах, то слово "слабая" действительно может "в разных местах означать много чего" (хотя и тут это не катастрофа); а вот разногласий в толковании слабой сходимости последовательности элементов конкретного функционального пространства я пока что не наблюдал. По-моему, тут слабая сходимость - совершенно однозначно определённый термин.

Прежде всего, надо бы спросить у ТС, а вообще на слабую сходимость ему надо исследовать последовательность или не надо. Он ведь написал просто "исследовать", а что именно - не совсем понятно.

[Slav-27]

Mikhail_K
Да, так.

[Lia]

Mikhail_K в сообщении #1376752 писал(а):

Прежде всего, надо бы спросить у ТС, а вообще на слабую сходимость ему надо исследовать последовательность или не надо. Он ведь написал просто "исследовать", а что именно - не совсем понятно.

Вот мы уже, наконец, и спросим.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- приведите все требуемые определения и критерии, пожалуйста,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.