Помогите решить геометрическую задачу

[ragnarek]

Даны прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ и прямоугольный равнобедренный треугольник $BCD$ с прямым углом $D$ и основанием $BC$. Треугольники имеют общую сторону $BC$.
Доказать, что отрезок $AD$ делит угол $BAC$ пополам.
Не знаю, как подступиться к этой задаче. Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре, и тогда все возможные точки $A$ будут располагаться на этой окружности. А дальше тупик.

[Munin]

ragnarek в сообщении #1373983 писал(а):

Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре.

Дык дальше всё, задача решена.

[wrest]

ragnarek в сообщении #1373983 писал(а):

Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре, и тогда все возможные точки $A$ будут располагаться на этой окружности.

Да, и в эту окружность оказываются вписаны оба треугольника, раз они оба прямоугольные с общей гипотенузой. На дугу $BD$ опираются два угла

[ragnarek]

Munin, wrest
Это какая-то теорема? Я не могу понять, извините. Почему угол делится ровно пополам?

[wrest]

ragnarek в сообщении #1373988 писал(а):

Это какая-то теорема?

Теорема такая, что если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то...

[ragnarek]

wrest
Все, теперь понял, спасибо.

[wrest]

ragnarek в сообщении #1373990 писал(а):

Все, теперь понял, спасибо.

Ну тогда распишите что и как, а то мало ли...

[ragnarek]

wrest
Углы $BCD$ и $BAD$ равны как опирающиеся на одну дугу. А так как угол $BCD$ равен 45 градусам, то угол $BAC$ делится пополам.

[wrest]

ragnarek в сообщении #1373992 писал(а):

А так как угол $BCD$ равен 45 градусам, то угол $BAC$ делится пополам.

Не хватает одного шага. Мне кажется, что вы не поняли почему он делится пополам. Хорошо, а если $\angle BCD$ не равен $45^{\circ}$, что тогда?

[ragnarek]

wrest
Если угол $BCD$ не равен $45^0$, тогда прямой угол $BAC$ не будет делиться на два угла по $45^0$ :)

[miflin]

Наверное, лучше сказать, что сравниваемые углы опираются на равные (т.к. хорды равны) дуги BD и DC.

[wrest]

ragnarek в сообщении #1373995 писал(а):

Если угол $BCD$ не равен $45^0$, тогда прямой угол $BAC$ не будет делиться на два угла по $45^0$ :)

Да, теперь нужный шаг сделан.

Но можно было и по другому. Раз треугольник $BDC$ равнобедренный, то углы $CBD$ и $BCD$ равны.
А раз оба треугольника прямоугольные с обще гипотенузой, то четырехугольник $ABCD$ вписанный, причем $BC$ - диаметр. Но из теоремы про вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, мы получаем не только $\angle BCD = \angle BAD$ но и $\angle CBD = \angle CAD$ откуда $\angle BAD = \angle DAC$ -- тут нам не надо вычитать $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$, мы получаем решение, так сказать, "напрямую".

[ragnarek]

miflin
Да, это ответ лаконичнее и очевиднее, спасибо.

[Munin]

ragnarek в сообщении #1373992 писал(а):

Углы $BCD$ и $BAD$ равны как опирающиеся на одну дугу.

Зачем так сложно? $\angle BAD$ и $\angle DAC$ опираются на равные дуги.

Пользуйтесь символами $\angle,\measuredangle,\triangle,\smile,\frown,\widehat{ABC},45^\circ,\square,\bigcirc,\parallel,\perp.$

[TOTAL]

Повернём рисунок вокруг точки $D$ на $90^{\circ}$.
Сравниваемые углы лежат при основании равнобедренного треугольника.