Кинематика

[Cognitionis]

Камень должен перелететь через два забора высотами $h_1$ и $h_2 > h_1$ со стороны забора меньшей высоты. Расстояние между верхними точками заборов, вблизи которых проходит траектория камня, равно $l$. Найдите минимальную начальную скорость камня.
Думаю при минимальной начальной скорости камня его траектория будет проходить через верхние точки обоих заборов.

[Munin]

Cognitionis в сообщении #1366661 писал(а):

Думаю при минимальной начальной скорости камня его траектория будет проходить через верхние точки обоих заборов.

Это надо доказать.

[wrest]

Cognitionis в сообщении #1366661 писал(а):

Думаю при минимальной начальной скорости камня его траектория будет проходить через верхние точки обоих заборов.

Очень похоже, что так и есть. Нужную параболу строим через три точки: вершину верхнего забора, вершину нижнего и отражение вершины нижнего забора от верхнего забора.
То есть, если проводим ось $Oy$ через верхний забор, ноль располагаем в основании верхнего забора, тогда координаты $(x;y)$ вершины верхнего забора будут $(0;h_2)$. Координаты вершины нижнего забора (пусть он левее верхнего) будут $(-l;h_1)$ ну а третью точку для параболы берем с координатами $(l;h_1)$
Если дальний забор ниже ближнего, то минимальная скорость будет такая же: вершину параболы ставим на верхний забор, вторую точку -- на вершину нижнего забора а третью точку берем -- симметричное отражение вершины нижнего забора от верхнего.

[slavav]

wrest в сообщении #1367207 писал(а):

Cognitionis в сообщении #1366661 писал(а):

Думаю при минимальной начальной скорости камня его траектория будет проходить через верхние точки обоих заборов.

Соглашусь. Но требуется доказательство.

wrest в сообщении #1367207 писал(а):

Нужную параболу строим через три точки: вершину верхнего забора, вершину нижнего и отражение вершины нижнего забора от верхнего забора.

Это решение не работает для заборов равной высоты. А значит не даёт оптимальное решение, если высота заборов различается мало.

[Igrickiy(senior)]

Cognitionis в сообщении #1366661 писал(а):

Камень должен перелететь через два забора высотами $h_1$ и $h_2 > h_1$ со стороны забора меньшей высоты. Расстояние между верхними точками заборов, вблизи которых проходит траектория камня, равно $l$. Найдите минимальную начальную скорость камня.
Думаю при минимальной начальной скорости камня его траектория будет проходить через верхние точки обоих заборов.

Уточните, пожалуйста, как понимать "перелететь"? В обычной трактовке я бы понял это так: камень должен оказаться за более высоким забором и не врезаться в низкий забор. Единственное условие - минимальность начальной скорости.
В этом случае задача имеет нормальное решение. Если требовать прохождение камня вблизи верхних точек заборов, то возникает два дополнительных вопроса: вблизи - это как? И второй. Если заборы стоят очень близко один к другому и один много ниже второго, то задача (при условии прохождения траектории через верхние точки) просто не имеет решения.
Нужны дополнительные ограничения.

-- 09.01.2019, 19:05 --

Munin в сообщении #1366663 писал(а):

Это надо доказать.

Это невозможно без дополнительных ограничений.

[wrest]

Igrickiy(senior) в сообщении #1367217 писал(а):

Если заборы стоят очень близко один к другому и один много ниже второго, то задача (при условии прохождения траектории через верхние точки) просто не имеет решения.

Имеет, даже если они совпадают, тогда надо просто перекинуть через верхний.

Igrickiy(senior) в сообщении #1367217 писал(а):

Нужны дополнительные ограничения.

Не нужны.

-- 09.01.2019, 19:14 --

slavav в сообщении #1367215 писал(а):

Это решение не работает для заборов равной высоты. А значит не даёт оптимальное решение, если высота заборов различается мало.

Хм... Да, хороший аргумент.

-- 09.01.2019, 19:21 --

А! Кажись, я знаю решение.
Суть его в том, что мы становимся на один забор и перекидываем с него второй. Вот эта парабола нам и нужна. Она одна и та же кидать вверх или вниз. И пройдет через вершины заборов. Это стопудов. Вершина параболы, соответственно, всегда будет где-то между заборами (если "между" имеется, т.е. основание заборов не совпадают).

[Munin]

wrest в сообщении #1367218 писал(а):

Суть его в том, что мы становимся на один забор и перекидываем с него второй. Вот эта парабола нам и нужна.

Вот только таких парабол бесконечно много.

Igrickiy(senior)
В этом разделе форума одобряется квалифицированная помощь в решении задач. Если вы сами не способны задачу правильно решить, то лучше не вмешиваться (либо можно пытаться решить её наперегонки с автором темы, но тогда не высказываться так самоуверенно).

[Sender]

(Оффтоп)

Когда-то давно решал эту задачу. Интересно, есть ли у неё столь же короткое и красивое решение, как и её ответ?

[realeugene]

Munin в сообщении #1366663 писал(а):

Это надо доказать.

Это тривиально. Допустим, оптимальная парабола не касается хотя бы одного из заборов. Сначала сдвинем её по горизонтали так, чтобы она прошла через вершину первого забора. Получаем параболу не хуже (с той же начальной скоростью). После этого, если парабола не проходит через вершину второго забора, то существует более "узкая" парабола, вершина которой находится на той же высоте, и которая проходит через сразу две вершины заборов. У этой более узкой параболы потенциальная энергия камня при пролёте вершины такая же, а горизонтальная скорость там меньше, значит, и начальная скорость камня меньше. Значит, первоначальная парабола была не оптимальной.

[slavav]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1367253 писал(а):

Munin в сообщении #1366663 писал(а):

Это надо доказать.

Это тривиально.

Это для вас тривиально. А для автора темы, возможно, нет. Это важно, так как мы в ПРР.

[wrest]

Munin в сообщении #1367235 писал(а):

Вот только таких парабол бесконечно много.

Нужная - одна. И я знаю какая ;)
Я этот вопрос тут вдоль и поперек раскапывал.

-- 09.01.2019, 20:43 --

Sender в сообщении #1367241 писал(а):

Когда-то давно решал эту задачу. Интересно, есть ли у неё столь же короткое и красивое решение, как и её ответ?

Э... есть, но надо владеть черной магией аффинных преобразований (там параболы переходят в параболы, и магия состоит в том, чтобы в трех словах из черномагических соображений доказать, что новая парабола - тоже минимальная по скорости старта). Я не владею, так что заходил через заднюю калитку :(

[Munin]

realeugene в сообщении #1367253 писал(а):

Munin в сообщении #1366663 писал(а):

Это надо доказать.

Это тривиально.

Это не вам надо доказать. Это тому, кто решает задачу, надо доказать. Без такого доказательства решение не будет принято (засчитано за полный балл).

-- 09.01.2019 21:20:17 --

wrest в сообщении #1367268 писал(а):

Нужная - одна.

Но вот найти её - непросто. Умеете - ну и молодец. Но пока то, что вы написали, не достаточно.

wrest в сообщении #1367268 писал(а):

...надо владеть черной магией аффинных преобразований (там параболы переходят в параболы...)

Увы, здесь это просто не работает. При аффинных преобразованиях параболы переходят в параболы, но функции кинетической и потенциальной энергий $E_{\text{кин}}=\dfrac{mv^2}{2}$ $E_{\text{пот}}=mgh$ не переходят в себя.

[wrest]

Munin в сообщении #1367276 писал(а):

Но пока то, что вы написали, не достаточно.

Ну так вы ж сами пишете что мы, мол, в ПРР...

-- 09.01.2019, 21:51 --

Munin в сообщении #1367276 писал(а):

Увы, здесь это просто не работает. При аффинных преобразованиях параболы переходят в параболы, но функции кинетической и потенциальной энергий $E_{\text{кин}}=\dfrac{mv^2}{2}$ $E_{\text{пот}}=mgh$ не переходят в себя.

Надо чтобы минимальные траектории переходили в минимальные. Ну вот оказывается, что переходят. Может, совпадение, не знаю. Но есть одна особенность, которая позволяет думать что не совпадение. Ды вы может и помните, вы там кажись писали чего-то.

[Munin]

Минимальные по какому параметру?

[wrest]

Munin в сообщении #1367288 писал(а):

Минимальные по какому параметру?

По начальной скорости (т.е. по кин. энергии, которую надо придать камню).
Если вам надо кинуть камень на определенное расстояние по горизонтали при минимальной стартовой скорости камня, то вы кидаете его под 45 градусов (ну и скорость исходя из этого считаете). А если надо кинуть его на склон горы и попасть в конкретную точку (хоть вверх, хоть вниз) то не под 45, а... ну тут уже ТСу будет подсказка.