Оценки неизвестного параметра

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1365049 писал(а):

как тогда решить

Написать правильно функцию правдоподобия (в цитированном топике она правильная, только подставьте данные своей задачи) и найти ее максимум. Просто заметьте, что функция эта не дифференцируема!
Максимум должен зависеть от выборки. Для понимания дела сначала рассмотрите выборку объема $m=1$.

[pmu_1]

Функция правдоподобия достигает максимума при стремлении $ \theta $ к $-4$ справа.

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1365076 писал(а):

Функция правдоподобия достигает максимума при стремлении $ \theta $ к $-4$ справа.

нет
При этом "стремлении" отрезок вырождается в точку! Экстремальное значение не зависит при этом от выборки и вообще не определено ($\to \infty$). Так быть не должно! Это бессмыслица.

-- Пн дек 31, 2018 15:55:51 --

alcoholist в сообщении #1365058 писал(а):

Для понимания дела сначала рассмотрите выборку объема $m=1$.

[--mS--]

pmu_1 в сообщении #1365076 писал(а):

Функция правдоподобия достигает максимума при стремлении $ \theta $ к $-4$ справа.

А скажите-ка: если вдруг $\theta$ приблизится к $-4$ настолько, что $\theta+2$ окажется меньше, например, третьего элемента выборки $x_3$, чему в таком случае будет равна функция правдоподобия?

[pmu_1]

$ \bar \theta = \max x_i - 2$

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1365181 писал(а):

$ \bar \theta = \max x_i - 2$

Теперь правильно. Вы уверены, что можете корректно вывести эту формулу по определению?

[pmu_1]

Да, разобрался. Спасибо!

[alcoholist]

Оценки, кстати, обе сильно смещенные.

[--mS--]

alcoholist в сообщении #1365185 писал(а):

Оценки, кстати, обе сильно смещенные.

Обе - это какие? $2\overline x$ и $\max x_i-2$? Первая несмещённая, вторая асимптотически несмещённая.

[pmu_1]

--mS--
А чтобы все это проверить нужно как-то составить закон распределения для $x_1,...x_m$. Из него найти плотность и проинтегрировать(чтобы найти мат. ожидание)?

-- 01.01.2019, 22:14 --

$ F_{x1} (x) = P(x_1 \leqslant x) = 1 - P(x_1 > x) = 1 - P(x_1>x)P(x_2>x)...P(x_m>x) = 1 - (1 - P(x_1 \leqslant x ))(1 - P(x_2 \leqslant x ))...(1 - P(x_m \leqslant x ))= 1 - (1 - F_{x1} (x))(1 - F_{x2} (x))...(1 - F_{xm} (x))=1-(1-F(x))^m$
Где $F(x)=\frac{x+2}{4+ \theta}$

Итого функция распределения $F=$\begin{cases} 0,&\text{если $x< -2 $;}\\ 1-(1-\frac{x+2}{4+ \theta })^m,&\text{если $ -2 \leqslant x \leqslant 2+ \theta$;}\\ 1,&\text{если $x > 2+ \theta$.} \end{cases}$$

Плотность $f=$\begin{cases} \frac{m}{4+ \theta} (1 - \frac{x+2}{4+ \theta})^{m-1},&\text{если $x\in [-2;2+ \theta]$;}\\ 0,&\text{если $x \not \in ...$;} \end{cases}$$

[pmu_1]

Тогда $M [ \theta]$ получается таким $\frac{-2m-3}{(4+ \theta )^{m-1} (m+1)}$

[alcoholist]

pmu_1
Ни в какие ворота. Для оценки методом макс. правдоподобия: если $Z_m=\max\{X_1,\cdots,X_m\}$, то

$$ F_{Z_m}(t)=P\left(Z_m\le t\right)=\prod_j P\left(X_j\le t\right)=\prod_j F_{X_j}(t)=\left(\frac{t+2}{4+\theta}\right)^m $$

при $t\in[-2;\theta+2]$.

-- Вт янв 01, 2019 23:46:53 --

У меня среднеквадратическая ошибка получилась

$$ \frac{\theta+4}{m+1}\sqrt{\frac{m}{m+1}}. $$

[--mS--]

pmu_1 в сообщении #1365290 писал(а):

--mS--
А чтобы все это проверить нужно как-то составить закон распределения для $x_1,...x_m$. Из него найти плотность и проинтегрировать(чтобы найти мат. ожидание)?

С какой целью Вы ищете распределение минимума? Какая из оценок у Вас зависит от $x_{(1)}=\min(x_1,\ldots,x_m)$? По-моему, никакая.

-- Ср янв 02, 2019 11:45:09 --

alcoholist в сообщении #1365316 писал(а):

У меня среднеквадратическая ошибка получилась

$$ \frac{\theta+4}{m+1}\sqrt{\frac{m}{m+1}}. $$

Конечно, нет. Величина $\mathsf E(\hat\theta-\theta)^2$ у второй оценки, очевидно, пропорциональна $1/m^2$, а не $1/m^3$. Да и не стоит, наверное, решать за ТС.

[alcoholist]

--mS-- в сообщении #1365343 писал(а):

Конечно, нет.

Это СК, корень из того, что вы имеете ввиду. А привел я СК, заметьте, не $\hat{\theta}$, чтобы в конце пути ТС мог себя проверить.

[--mS--]

alcoholist в сообщении #1365452 писал(а):

А привел я СК, заметьте, не $\hat{\theta}$, чтобы в конце пути ТС мог себя проверить.

Если это СК отклонение минимума, то, во-первых, оно ТС не нужно, а во-вторых, вычислили Вы его опять-таки неверно. Без $m+2$ в знаменателе оно, очевидно, обойтись не может.