Оценки неизвестного параметра

[pmu_1]

Выборка $X_1...X_m$, где $X_1 \sim R(-2, 2+\theta)$
1) Найти оценку неизвестного параметра распределения методом моментов по первому начальному моменту
2) Найти оценку неизвестного параметра распределения методом моментов максимального правдоподобия
3) Найти СК-ошибки полученных оценок
4) Проверить состоятельность полученных оценок

Рассуждал так:
1) $M[x]=\frac{a+b}{2}=\frac{\theta}{2}$
$\frac{\theta}{2} =\bar x $
$\theta = 2 \bar x$

2) Функция правдоподобия $L(X_1...X_m,-2, 2+ \theta)=(\frac{1}{4+ \theta})^m$
Она максимальна при $a=x_1$ и $b=x_m$
$x_1=-2$
$x_m=2+ \theta \Rightarrow \theta = \bar x_m - 2 $

3) Тут не очень понятно. Нужно просто подставить полученные оценки в :
$D[x]=\frac{(4+ \theta)^2}{12}$?

Правильно ли все это? Если нет, то где ошибки?

[alcoholist]

С пунктом 2 что-то не так. Ведь

$$f(x_i|\theta)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\theta+4}&x_i\le \theta+2\\ 0,&x_i>\theta+2\end{array}\right..$$

[--mS--]

alcoholist, а левая граница куда подевалась?

[alcoholist]

--mS-- в сообщении #1364692 писал(а):

а левая граница куда подевалась?

там нет зависимости от параметра, она нас не волнует))
Мы же плотность от $-2$ интегрировать будем

[pmu_1]

alcoholist
А это разве противоречит моему ответу? Под $\bar x_m$ я имею в виду среднее среди всех последних элементов

[alcoholist]

3) Вы получаете оценки в виде $\theta(x)$. Вычисляете матожидание этих оценок: $\hat{\theta}=M[\theta(x)]$. Если $\hat{\theta}=\theta$, то оценка называется несмещенной. СК-ошибка равна

$$ \sqrt{M\left[\theta^2(x)\right]-\hat{\theta}^2}. $$

-- Вс дек 30, 2018 12:04:01 --

pmu_1 в сообщении #1364735 писал(а):

А это разве противоречит моему ответу?

Вот у вас есть выборка: 5, 8, -1.
Где здесь

pmu_1 в сообщении #1364735 писал(а):

среднее среди всех последних элементов

[pmu_1]

alcoholist в сообщении #1364736 писал(а):

3) Вы получаете оценки...

Благодарю, понял

alcoholist в сообщении #1364736 писал(а):

Вот у вас есть выборка: 5, 8, -1.
Где здесь

Да, совсем не то написал. Их вроде бы надо сначала упорядочить:
$-1,5,8$
Тогда $a=x_{(1)}=-1$ и $b=x_{(m)}=8$
А оценка для общего случая $\theta = x_{(m)}-2$

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1364746 писал(а):

Их вроде бы надо сначала упорядочить

Есть такая функция $\max$:)))
Непонятно, как вы оценку получаете... надо с использованием той плотности, что я выше указал

[pmu_1]

alcoholist
С помощью вашей плотности можно составить функцию правдоподобия и она будет такой

pmu_1 в сообщении #1364582 писал(а):

Функция правдоподобия $L(X_1...X_m,-2, 2+ \theta)=(\frac{1}{4+ \theta})^m$

Чтобы найти максимум, найдем производную:
$-m (\frac{1}{ \theta +4})^{m+1}$
Отсюда $ \theta = -4$. Так?

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1364796 писал(а):

Отсюда $ \theta = -4$. Так?

Разве функция достигает максимума там, где производная бесконечна?
Функция $f(x_i|\theta)$ вообще говоря не дифференцируема...

-- Вс дек 30, 2018 18:04:04 --

pmu_1 в сообщении #1364582 писал(а):

Функция правдоподобия $L(X_1...X_m,-2, 2+ \theta)=(\frac{1}{4+ \theta})^m$

Нет, не такая она.
Я же подсказку давал:

alcoholist в сообщении #1364691 писал(а):

$$f(x_i|\theta)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\theta+4}&x_i\le \theta+2\\ 0,&x_i>\theta+2\end{array}\right..$$

[pmu_1]

Наверное, я не понимаю к чему вы клоните. Функция правдоподобия - это произведение всех плотностей(их у нас $m$). Почему она не такая? Смотрю на определение в учебнике - все тоже самое. В примере с равномерным распределением все тоже самое

[alcoholist]

pmu_1
Ваша функция правдоподобия вообще не зависит от выборки!

[pmu_1]

alcoholist
Понимаю, а чем моя задача отличается от
https://dxdy.ru/topic65261.html
Не понимаю. Разве что вместо $a$ И $b$ У меня $-2$ и $2+ \theta $. Почему нельзя просто выразить тетта?

[alcoholist]

pmu_1 в сообщении #1364858 писал(а):

а чем моя задача отличается от

Задача отличается тем, что там два параметра, а у вас один.
Функция правдоподобия отличается тем, что в том топике есть зависимость от выборки, а у вас нет.

[pmu_1]

alcoholist
Хорошо, как тогда решить такую задачу?

(Оффтоп)

Единственная идея была уже несколько раз описана. Составить функцию правдоподобия, найти ее производную и максимум.