Кривая смачивания.

[GraNiNi]

При погружении плоской пластинки в воду, вода, смачивая пластинку, подымается на некоторую высоту (допустим 3 мм), образуя вогнутый мениск.

Вопрос.
Каким уравнением можно описать эту кривую?
По своему профилю она похожа и на гиперболу и на цепную кривую и на экспоненту.
Но какова она исходя из физики ее происхождения?

В частности, важен вопрос о поведении этой функции при неограниченном удалении от пластинки.
Будет ли ее высота неограниченно уменьшаться (как экспонента), стремясь к нулю, или граница (удаление от пластинки) существует, имеется ввиду, конечно, теоретическая, так как физически она будет ограничена в любом случае.

Беглый поиск в инете, по этой теме, ничего не дал.
Может кто подскажет где об этом можно почитать, или возьмется решить задачу аналитически?

[amon]

GraNiNi в сообщении #1360740 писал(а):

Каким уравнением можно описать эту кривую?

$$x=-\frac{a}{\sqrt{2}}\operatorname{arch}\frac{a\sqrt{2}}{z}+a\sqrt{2-\frac{z^2}{a^2}}+x_0$$

$a=\sqrt{\frac{2\sigma}{g\rho}}$ - капиллярная постоянная, $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения. Величина $x_0$ определяется из условия
$\frac{dz}{dx}=-\ctg \theta$ при $x=0$ (на стенке). Задача 2 к параграфу 61 Гидродинамики ЛЛ.

[GraNiNi]

amon, прекрасно!
Огромное спасибо.

Буду поставлять реальные цифры и исследовать ее поведение.

[amon]

GraNiNi в сообщении #1360750 писал(а):

Буду поставлять реальные цифры и исследовать ее поведение.

Обратите внимание на то, что под этой кривой, вплоть до поверхности воды вдали от края, давление меньше атмосферного.

[wrest]

amon
Скажите пож-ста, ести стенка не вертикальная, то к $\theta$ мы просто добавим угол под которым к вертикали направлена стенка, то есть если краевой угол жидкость-твердое тело (угол смачивания) равен скажем $\phi$, а угол наклона стенки равен $\alpha$, то угол $\theta$ из этой задачи ЛЛ, будет просто $\theta=\phi + \alpha$, верно?

То есть, наклон стенки в этой задаче просто эквивалентен изменению угла смачивания (=краевого угла) на угол наклона стенки, вот о чем я хотел спросить.
-- 12.12.2018, 16:22 --

amon в сообщении #1360758 писал(а):

Обратите внимание на то, что под этой кривой, вплоть до поверхности воды вдали от края, давление меньше атмосферного.

Главное, что давление $p=p_0+\rho gz$ везде в жидкости (воде). Насчет давления в самой границе раздела (несколько молекулярных слоев), как я понимаю, точно неизвестно.

[amon]

wrest в сообщении #1360760 писал(а):

будет просто $\theta=\phi + \alpha$, верно?

Сходу не соображу. Там будут три силы - тяжести ("вниз"), смачивания - вдоль поверхности твердого тела и поверхностного натяжения (по касательной к поверхности). Их проекция на должна равняться нулю, поэтому угол между поверхностью твердого тела и поверхностью жидкости вроде должен меняться при наклоне стенки. Как - сразу не сообразил. Если соображу - сообщу.

[GraNiNi]

amon в сообщении #1360758 писал(а):

Обратите внимание на то, что под этой кривой, вплоть до поверхности воды вдали от края, давление меньше атмосферного.

Вы имеете ввиду давление паров воды над вогнутой поверхностью?
Ведь все это можно поместить под колокол в вакуум.

Сейчас мы Вас закидаем вопросами!

Если вода не будет смачивать поверхность, то форма мениска и, соответственно, уравнение кривой, будет зеркальным отражением кривой смачивания, или там будет совсем другая кривая?

[Emergency]

GraNiNi в сообщении #1360770 писал(а):

это можно поместить под колокол в вакуум.

Вода в вакууме кипит...
А давление в воде (под кривой) вблизи от пластины.

[wrest]

GraNiNi в сообщении #1360770 писал(а):

Ведь все это можно поместить под колокол в вакуум.

Э... вот этого хоккея нам не надо. Вода закипит, испарится и восстановится давление (а если откачивать то испарится вся) и всё, нет ножек нет и сапожек.

[GraNiNi]

wrest в сообщении #1360760 писал(а):

То есть, наклон стенки в этой задаче просто эквивалентен изменению угла смачивания (=краевого угла) на угол наклона стенки, вот о чем я хотел спросить.

Если стенку наклонить влево на угол смачивания $\theta$, то произойдет вырождение мениска в ноль, то есть кривая будет прямой линией.
Если наклонить еще сильнее - вплоть до горизонтали, то мениск будет уже выпуклым и здесь возникает вопрос, о форме кривой, который я уже задал выше.

-- Ср дек 12, 2018 17:15:13 --

Emergency в сообщении #1360774 писал(а):

Вода в вакууме кипит...
А давление в воде (под кривой) вблизи от пластины.

В вакууме просто установится равновесное давление паров воды для данной температуры, примерно 20 мм рт. ст. для комнатной температуры, то есть атмосферного давления не будет.
Повлияет ли это на форму мениска?

[Emergency]

GraNiNi в сообщении #1360776 писал(а):

В вакууме просто установится равновесное давление паров воды для данной температуры, примерно 20 мм рт. ст. для комнатной температуры, то есть атмосферного давления не будет.
Повлияет ли это на форму мениска?

Обязательно. Мениск исчезнет.

[GraNiNi]

Emergency в сообщении #1360789 писал(а):

Обязательно. Мениск исчезнет.

Не верю!

[amon]

Emergency в сообщении #1360789 писал(а):

Обязательно. Мениск исчезнет.

Никуда он не денется, если мы не залезаем за тройную точку, после которой воды уже нет, а есть только лед и пар. Обращаю Ваше внимание на то, что в уравнение поверхности мениска из ЛЛ давление вообще не входит, стало быть форма мениска от давления вообще не зависит. Другое дело, что коэффициент поверхностного натяжения, вообще говоря, зависит от температуры и давления.

GraNiNi в сообщении #1360770 писал(а):

Вы имеете ввиду давление паров воды над вогнутой поверхностью?

Нет. Давление воды под вогнутой поверхностью. На поверхности раздела двух сред давление испытывает скачек, равный

$$ \Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right). $$

($R_1$ и $R_2$ - главные радиусы кривизны поверхности жидкости)
Изобары в равновесии горизонтальны, как правильно отметил уважаемый Emergency. В области "пристеночного клювика" изобара пересекает поверхность, значит давление на этой изобаре внутри жидкости меньше наружного на написанную величину.

[Emergency]

amon в сообщении #1360812 писал(а):

Никуда он не денется

Пардон, поторопился. :(((

(Оффтоп)

Вспомнил анекдот: "Как утопить утенка?" - Бросить в кипящую воду.

[wrest]

amon в сообщении #1360812 писал(а):

Никуда он не денется, если мы не залезаем за тройную точку, после которой воды уже нет, а есть только лед и пар.

Вернее, за критическую, где жидкость и пар одной плотности.