Занесение знака предела за функцию

[ignat.fugasov]

Я правильно понимаю, что из $\lim_{x\to a}f(x)=f(\lim_{x\to a}x)$, при непрерывности в $a$ функции $f(x)$,
непосредственно можно вывести только что $\lim_{x\to a}\ln(x)=\ln(\lim_{x\to a}x)$, зная о непрерывности логарифма,
но $\lim_{x\to a}\ln(2x)=\ln(\lim_{x\to a}2x)$ нельзя,
так как ничего не говорится о пределе сложной функции $f(g(x))$, где $g(x)$ - не функция $g(x)=x$ ?

[thething]

Если внешняя функция композиции непрерывна, а внутренняя имеет конечный предел, то можно так переставлять знак предела. Есть соответствующая теорема.

[ignat.fugasov]

thething
Я поэтому и спрашиваю. В учебнике дано только замечание $\lim_{x\to a}f(x)=f(\lim_{x\to a}x)$, но теоремы о которой вы говорите нет(правда она вытекает из доказательства теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций, которая там есть). Я и решил убедиться наверняка.

[thething]

Скорее это теорема о композиции непрерывных функций вытекает из того, что я сказал.. Но я не понял, Ваш пример же как раз подходит под ситуацию композиции непрерывных функций (если $a\ne0$), так в чём вопрос тогда?

[ignat.fugasov]

thething
Я имел в виду что там продемонстрировано как доказать теорему. Вопрос в том, достаточно ли знать что $\lim_{x\to a}f(x)=f(\lim_{x\to a}x)$ для вывода $$\lim_{x\to a}\ln(2x)=\ln(\lim_{x\to a}2x)$.

[gefest_md]

ignat.fugasov в сообщении #1357561 писал(а):

достаточно ли знать что $\lim_{x\to a}f(x)=f(\lim_{x\to a}x)$ для вывода $$\lim_{x\to a}\ln(2x)=\ln(\lim_{x\to a}2x)$.

Достаточно, потому что по свойству логарифма $\ln (2\cdot x)=\ln 2+ \ln x=\left(f_1+f_2\right)(x)$.