Пара вопросов про лептоны

[Ascold]

1. Точно ли, что подход к записи лагранжианов взаимодействия э.-м. поля с лептонным в виде $L_{int}=q\int\bar{\psi}(x)\gamma^\mu A(x)_\mu\psi(x)dx$ основан на малости размеров лептонов? Просто в книжке F. Mandl, G. Shaw Quantum field theory говорится, что для адронов так не получится, потому что они "большие", а лептоны - "маленькие".

2. Почему разные лептонные поля антикоммутируют друг с другом, а не только сами с собой, какова физическая причина этого?

[Munin]

В этом лагранжиане лептоны точечные. Кстати, почему вы действие обозначаете $L$?

Точечность подразумевается в любом лагранжиане, который состоит из значений полей, взятых в одной точке. Если частицы неточечные, то там должна стоять свёртка с форм-фактором частицы (в импульсном пространстве - произведение на импульсный форм-фактор).

Второго вопроса не понял. Антикоммутируют фермионы только между собой, разные поля (такие как электронное и мюонное) не антикоммутируют.

[Ascold]

Munin в сообщении #1355449 писал(а):

В этом лагранжиане лептоны точечные. Кстати, почему вы действие обозначаете $L$?

Там трёхмерное интегрирование, неправильно обозначил жирность, не пропечаталось, имелась в виду функция Лагранжа, а не плотность лагранжиана.

Munin в сообщении #1355449 писал(а):

Второго вопроса не понял. Антикоммутируют фермионы только между собой, разные поля (такие как электронное и мюонное) не антикоммутируют.

Значит, я не понял фразу. В книжке сказано: "When dealing with several fermion fields, we must assume that the field operators for different fermion fields anticommute."
А что тогда с ними - коммутируют тогда электронное с мюонным полями? На возможность независимого измерения этих полей смотреть как на опытный факт или за этим что-то иное стоит?

Цитата:

Точечность подразумевается в любом лагранжиане, который состоит из значений полей, взятых в одной точке. Если частицы неточечные, то там должна стоять свёртка с форм-фактором частицы (в импульсном пространстве - произведение на импульсный форм-фактор)

Это в контексте квантовой физики что-то в голову не заходит - выражение вида $e\bar{\psi(x)}\gamma^\mu A_\mu(x)\psi(x)$ - это плотность лагранжиана взаимодействия. Почему с ней д.б. связана именно точечная частица, ведь это выражение для вычислений чего-либо физического в конечном счёте всё равно интегрируется?

[Munin]

Ascold в сообщении #1355470 писал(а):

имелась в виду функция Лагранжа, а не плотность лагранжиана.

Ну, обычно пишут или "плотность лагранжиана" (называют обычно просто лагранжиан), или действие, то есть интеграл от этой плотности по всем 4 координатам. (Что называть лагранжианом, а что плотностью - вопрос неоднозначный, см. Медведев. Начала теоретической физики.)

Ascold в сообщении #1355470 писал(а):

В книжке сказано: "When dealing with several fermion fields, we must assume that the field operators for different fermion fields anticommute."

Не могу понять, откуда взялась эта фраза. Видимо, там какой-то контекст, о котором я не в курсе. Или чего-то не понимаю. Or both.

Ascold в сообщении #1355470 писал(а):

А что тогда с ними - коммутируют тогда электронное с мюонным полями? На возможность независимого измерения этих полей смотреть как на опытный факт или за этим что-то иное стоит?

Перестановочность и антиперестановочность - это свойства более глубокого порядка, к независимому измерению они мало относятся, скорее они выбирают разрешённые и неразрешённые по симметрии состояния. С этим надо наупражняться ещё в КМ.

Ascold в сообщении #1355470 писал(а):

Это в контексте квантовой физики что-то в голову не заходит - выражение вида $e\bar{\psi(x)}\gamma^\mu A_\mu(x)\psi(x)$ - это плотность лагранжиана взаимодействия. Почему с ней д.б. связана именно точечная частица, ведь это выражение для вычислений чего-либо физического в конечном счёте всё равно интегрируется?

Потому что в ней участвуют (перемножаются) величины $\bar{\psi(x)}, A_\mu(x), \psi(x),$ вычисленные в одной и той же точке $x.$

На $\psi(x)$ можно смотреть (грубо и неформально и в нерелятивистском пределе) как на волновую функцию фермиона (а на $A_\mu(x)$ - ещё более грубо - как на волновую функцию фотона). Представим себе в классической КМ неточечную частицу. Тогда энергия взаимодействия с каким-то отдалённым её куском будет записываться не через $\psi^*(x)\psi(x),$ а через $\psi^*(x-x_0)\psi(x-x_0),$ где $x_0$ - смещение того отдалённого куска от центра частицы (координаты которого и задаются буквой $x$). Вот как на этом языке выглядит неточечность. Если мы имеем некоторое распределение "отдалённых кусков" - форм-фактор $f(x_0),$ - то необходимо будет ввести свёртку с ним $\int f(x_0)\psi^*(x-x_0)\psi(x-x_0)dx_0.$ И вот такие же вещи должны появляться и в полевом лагранжиане взаимодействия, если там частица неточечная.

[Ascold]

Munin в сообщении #1355891 писал(а):

Перестановочность и антиперестановочность - это свойства более глубокого порядка, к независимому измерению они мало относятся, скорее они выбирают разрешённые и неразрешённые по симметрии состояния. С этим надо наупражняться ещё в КМ.

Когда я изучал КМ, то понял, что:
1. Если 2 оператора коммутируют, то имеют одинаковый набор собственных функций и одновременно измеримые наблюдаемые.
2. Если есть система одинаковых частиц, то её волновая функция, будучи разложенной по функциям отдельных частиц, бывает перестановочной или антиперестановочной по частицам.
Что я пропустил в КМ?

[Munin]

Ну вот 1 и 2 - это разные смыслы слова "перестановочность". Как операторы и по частицам.
Я тоже не очень чётко это в прошлый раз сказал.

[Ascold]

Munin в сообщении #1355964 писал(а):

Ну вот 1 и 2 - это разные смыслы слова "перестановочность". Как операторы и по частицам.
Я тоже не очень чётко это в прошлый раз сказал.

Ну и всё же, для электронных и мюонных полей - $[\psi_e(x),\psi_\mu (y)]=0$ или $\{\psi_e(x),\psi_\mu (y)\}=0$ и почему?
Мне кажется, что будучи независимыми(хоть и фермионы, но взаимодействуют не друг с другом напрямую, а с электромагнитным полем), они должны удовлетворять покомпонентно условию $[\psi_e(x),\psi_\mu (y)]=0$

[Munin]

Я тоже именно так думаю.

[AnatolyBa]

В книжках пишут, что операторы для разных фермионов антикоммутируют. Посмотрите, например, ЛЛ3 - конец параграфа 65. То же в ЛЛ4.
Аргументируется возможностью взаимных превращений частиц и тем, что разные частицы могут оказаться различными состояниями одной частицы (типа протон, нейтрон - нуклоны).
ЛЛ, разумеется, пишут, что это очевидно. Не могу сказать, однако, что это очевидно мне. Для меня это всегда было своего рода занозой

[Munin]

AnatolyBa в сообщении #1356192 писал(а):

В книжках пишут, что операторы для разных фермионов антикоммутируют.

Для разных фермионов, или для разных фермионных полей?

[AnatolyBa]

Операторы рождения и уничтожения разных фермионов.
Разве отсюда не следует антикоммутация полей?

[Ascold]

Вопрос-то о том, коммутируют или нет, к примеру, электронное поле с мюонным.

[AnatolyBa]

Ascold
Я ведь не отвечаю на ваш вопрос, я скорее присоединяюсь к нему, с комментариями.
Если прочитать буквально, что написано у ЛЛ (ну и в других книгах), то получается, что электронные и мюонные поля должны антикоммутировать.
Но к каким конкретно противоречиям приводит предположение о коммутации - не объясняется. Сказано только, что принципиальным моментом является взаимодействие. В рамках теории свободных полей невозможно сделать вывод о коммутации или антикоммутации.
Давайте возмем другой пример, нейтроны и протоны. До введения изотопического спина это разные поля и возникает тот же вопрос. С введением изотопического спина мы имеем одно поле с разными компонентами и в лагранжиан взаимодействия протонное и нейтронное поля входят вместе. Вероятно, неудобно иметь разные правила коммутации внутри одной компоненты нуклонного поля и между разными компонентами. Но только ли неудобно? Возникают ли реальные противоречия? Этого я не знаю и хотел бы понять лучше.
Если вернуться к электронам и мюонам, то, поправьте меня если что, кажется они не считаются сегодня разными компонентами какого-то единого поля. Но что будет завтра?

[Munin]

AnatolyBa
post1355964.html#p1355964

[AnatolyBa]

Я видел, но не понял. Не могли бы вы пояснить?
Я ведь не говорю об операторах в широком смысле слова, только об операторах рождения, уничтожения и полях - операторных функциях.
Вы считаете, что операторы рождения/уничтожения могут антикоммутировать и при этом поля будут коммутировать?
И вот еще. Ядерная физика (например свойства дейтрона) показывает, что правильно рассматривать протонные и нейтронные поля как антикоммутирующие. Но я вижу это скорее как экспериментальный факт а не следствие каких-то глубинных свойств теории. Или я не прав?