Число как сумма ряда или элемент последовательности

[pogopogo]

Можно ли представить очень большое натуральное число, как элемент какой-то последовательности или сумму ряда?
В конечном счёте, чтобы описание числа было сильно меньше его длины?

[Mihr]

Некоторые "огромные" натуральные числа можно описать коротко, ну а все - вряд ли. В чём смысл вопроса?

pogopogo в сообщении #1354048 писал(а):

чтобы описание числа было сильно меньше его длины

Что это значит?

[Ioda]

(Оффтоп)

$n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i , a_i=1 , n\in\mathbb{N}$

А по существу, большие числа просто так в десятичном виде записывают только из очень специфических нужд. Чаще короткая форма числа (то есть формула задающая его) появляется раньше самого числа (записи числа в десятичном виде).

[wrest]

pogopogo в сообщении #1354048 писал(а):

В конечном счёте, чтобы описание числа было сильно меньше его длины?

Можно. Сначала записываете число как-нибудь (длинно), а потом называете его коротко: "число pogopogo"

[pogopogo]

Mihr в сообщении #1354055 писал(а):

Некоторые "огромные" натуральные числа можно описать коротко, ну а все - вряд ли. В чём смысл вопроса?

pogopogo в сообщении #1354048 писал(а):

чтобы описание числа было сильно меньше его длины

Что это значит?

Представьте, например, число, которое получается, если посчитать факториал 2000 (3 * 10^5735 примерно).
Длина записи этого числа 5736 символов. Но записать его можно и как 2000! - кратко, то есть.
У меня возник вопрос, можно ли для любого натурального числа найти краткую запись? Может, и не настолько краткую, но на сотни и десятки порядков короче обычной записи. Возможно, это будет последовательность операций, или искомое число получится на какой-то шаг суммирования какого-то ряда, или как n-ный член последовательности типа Фибоначчи, или ещё чего.

[Someone]

pogopogo в сообщении #1354092 писал(а):

можно ли для любого натурального числа найти краткую запись?

Для любого — вряд ли. Для некоторых можно. Например: Ridiculously huge numbers.

[slavav]

Нет, нельзя.
Пусть вы придумали некоторый способ именовать целые числа и постарались сделать так чтобы эти имена были как можно короче. Для любого числа вы готовы записать имя. По имени число можно восстановить однозначно.
Тогда сыграем в такую игру:
Я называю $N$.
Вы выписываете имена чисел от $1$ до $N$. Обозначим длину вашего текста как $T_N$.
Я выписываю числа $1$ до $N$ в обычной десятичной нотации. Обозначим длину моего текста как $S_N$.
Выигрываете вы если $T_N << S_N$. Выигрываю я если $S_N << T_N$.
Кто будет чаще выигрывать, если $N$ растёт неограниченно?
Ответ: если вы не наделали ошибок в правилах придумывания имён, то игра закончится вничью. Иначе вы проиграете.

Другими словами, десятичная запись в каком-то смысле одна из самых экономных.

[pogopogo]

Someone в сообщении #1354096 писал(а):

pogopogo в сообщении #1354092 писал(а):

можно ли для любого натурального числа найти краткую запись?

Ridiculously huge numbers[/url].

Да, я прочёл здесь о таком представлении. https://scorcher-7.livejournal.com/691.html
Если кто-то видео не хочет смотреть.
Но это не совсем подходит к вопросу.

Вообще, тема эта, скорее, связана с теорией информации, минимальным описанием информации информационной энтропией.
Но я подумал, может, у математики есть какой-то простой ответ.
Может, кто-то сталкивался с последовательностями типа Фибоначчи?
Есть ли правила построения этих последовательностей в обратном направлении?
Например, беру число 100 и некоторое количество шагов, за которые я хочу дойти до нуля.
Какой шаг выбирать, возможно ли это вообще? Сходу не выходит.

[Someone]

pogopogo в сообщении #1354104 писал(а):

Да, я прочёл здесь о таком представлении.

По моей ссылке — 47 видеороликов, посвящённых "ничтожно громадным числам".

[pogopogo]

slavav в сообщении #1354101 писал(а):

Другими словами, десятичная запись в каком-то смысле одна из самых экономных.

А что если я хочу нумеровать только натуральные числа? Ведь есть ещё отрицательные, иррациональные, комплексные - их, вроде, больше, чем натуральных, и комбинаций с этими числами тоже должно быть больше. Специальные нотации, которые по ссылкам приводятся, вдобавок.

[Mihr]

pogopogo в сообщении #1354104 писал(а):

Вообще, тема эта, скорее, связана с теорией информации, минимальным описанием информации информационной энтропией.

Тогда Вам должен быть понятен следующий ответ. Если нас интересует запись не "избранных" чисел, а - потенциально - любых, то единственный способ сократить длину записи чисел - использовать алфавит большей мощности (с бОльшим числом символов). Но это путь малопродуктивен, так как при увеличении мощности алфавита сокращение длины записи происходит в логарифмическом масштабе. Например, если мы от десятичной записи чисел перейдём к 100-ичной, то длина записи чисел уменьшится (в среднем) лишь в два раза.

[arseniiv]

pogopogo в сообщении #1354104 писал(а):

Но я подумал, может, у математики есть какой-то простой ответ.

Так есть простой: нельзя сжимать неограниченно без потери информации. Что это конкретно означает, уже придётся длинно распространяться.

С другой стороны, нам людям не интересны вообще все числа, нам интересны некоторые, так что и вопроса записать произвольное сколь угодно большое число сколь угодно коротко просто не стоит. Это распространяется как на натуральные числа, так и вообще на элементы произвольных возникающих в математике бесконечных множеств.

[mihaild]

pogopogo в сообщении #1354092 писал(а):

У меня возник вопрос, можно ли для любого натурального числа найти краткую запись?

Нет. Если у вас конечный алфавит и фиксированный способ записи - то для "почти всех" чисел длина их записи будет отличаться от длины их десятичной записи не более чем в константу раз (более точно - в десятичный логарифм числа символов в алфавите).
Можете попробовать почитать про колмогоровскую сложность - это как раз длина "самой короткой" (в некотором смысле) записи числа.

pogopogo в сообщении #1354104 писал(а):

Может, кто-то сталкивался с последовательностями типа Фибоначчи?

Какими именно? Последовательность Фибоначчи - пример линейной рекуррентной последовательности, про них известно довольно много, в том числе общий вид.

pogopogo в сообщении #1354104 писал(а):

Есть ли правила построения этих последовательностей в обратном направлении?
Например, беру число 100 и некоторое количество шагов, за которые я хочу дойти до нуля.

А что это значит? Например берете число $100$, следующим пишете число $0$ - это подходит или нет?

pogopogo в сообщении #1354113 писал(а):

Ведь есть ещё отрицательные, иррациональные, комплексные - их, вроде, больше, чем натуральных, и комбинаций с этими числами тоже должно быть больше

Большинство иррациональных чисел вообще нельзя записать конечным числом символов. А знак, допустимость числителя и знаменателя и т.д. - увеличивают длину в худшем случае в константу раз.

[slavav]

Ещё связанная тема: Колмогоровская сложность.

[pogopogo]

arseniiv в сообщении #1354116 писал(а):

С другой стороны, нам людям не интересны вообще все числа, нам интересны некоторые, так что и вопроса записать произвольное сколь угодно большое число сколь угодно коротко просто не стоит.

Вы правы. Здесь надо определяться с максимальной длинной числа, которое необходимо записать.