Классификация структур

[Qlin]

Someone в сообщении #1352969 писал(а):

Понятие группы было сформулировано французским математиком Эваристом Галуа

Someone в сообщении #1352969 писал(а):

это понятие понадобится физикам

Someone в сообщении #1352969 писал(а):

Понятие группы адекватно формализует общее понятие симметрии

Что такое понятие группы и вообще понятие чего-либо? В имеете в виду сам термин?

[Someone]

Qlin в сообщении #1353045 писал(а):

Что такое понятие

Понятие — это выделенный каким-либо образом класс объектов. Термин — это имя понятия.
Понятие группы, таким образом, это класс объектов, которые мы называем группами, а группа — элемент этого класса. На какой-либо конкретный объект этот термин не указывает. Если имеется в виду конкретная группа, она должна быть тем или иным способом выделена из всего класса.

[alex55555]

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

Это теория алгебраических систем: универсальная алгебра. Она соседствует с математическою логикою.

Спасибо, такое указание проясняет понимание. Структура - операции на множестве. А универсальная алгебра изучает такие структуры.

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

В некотором смысле можно построить всю математику, начав с одного только пустого множества (и имея на вооружении терию множеств).

А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает? Или неявно присутствует бесконечное множество и операция "обратим внимание на эту часть"?

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

Вас, видимо, интересуют основания математики. И вы далеко не первый, кого они интересуют. Поэтому там уже напридумывали такую уйму всякого! Соответственно, шансов придумать что-либо новое у вас практически нет.

Известно ведь, что компьютер работает только тогда, когда ему всё подано как он хочет. Поэтому хочется понять, как ему подать математику. Но здесь встречаемся с некоторым барьером - математики не пишут доказательств для компьютера, а пишут для себя (для людей).

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

Так что если действительно интересно, поизучайте эту науку. Или просто поболтать желаете?

Если есть цель, то болтать нет времени. Но без отдыха тоже нет работы. В общем - может обойдёмся без неявных обвинений в праздности?

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

К сожалению или к счастью, алгебраических систем слишком много и они слишком разные, чтобы их можно было классифицировать, например, с помощью таблицы.

Надеюсь, что здесь вы неправы (как и многие другие). Но доказать, понятно, не могу. Основа всё же примитивная - операции на множестве. Доступна посетителю детского сада. Поэтому очень надеюсь на выявление простых структур и в производных от основы.

Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):

Что там все алгебраические системы; возьмём группы. Никакой полной классификации у них нет. Более того, доказано, что в некотором разумном смысле такая классификация принципиально невозможна.

Доказательство ведь работает на основе постановки вопроса. Описать систему в терминах системы - это не обязательно для множества практических применений. И "практическое применение" в виде понимания так же может этим воспользоваться, хочется надеяться. И моё понимание, как раз, проясняется после подобных ответов. Хотя стоит добавить - слегка проясняется.

-- 10.11.2018, 18:45 --

Munin в сообщении #1352908 писал(а):

Вы смотрите "слишком в общем". Математика так не делается. Математика занимается обобщением чего-то конкретного.

Возможно. Пока я оправдываюсь требованиями практики.

Munin в сообщении #1352908 писал(а):

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Поэтому нам ничто не мешает задать операцию выделения произвольного подмножества.

Это уже новая операция. Нарушено условие задачи.

Единица, множества и начинаем с одной операции. Далее строим математику, вводя при этом другие операции. Алгебраическим структурам не запрещено иметь любое количество операций. Порождение же носителя для новых операций выполняется при помощи одной единственной операции.

[Qlin]

alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):

А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает?

Какие изменения? Если подразумеваются не изменения, а построение новых объектов, то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств.

alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):

Или неявно присутствует бесконечное множество и операция "обратим внимание на эту часть"?

Бесконечное множество присутствует явно, если у вас есть аксиома бесконечности. Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

когда мы хотим уместить в голове какое-то понятие, надо найти примеры вещей, входящих в него, как оно связано с другими и прочее, в этих связях общий смысл и польза понятия и лежит, и пользу обобщения не всегда видно, пока не рассмотришь достаточно конкретных реализаций.

Согласен. Но для обучающегося польза состоит в выборе направления (один из видов пользы). Поэтому указательные знаки на дороге очень даже пригодятся. А как иначе? Изучить всё-всё-всё? А так бывает?

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

Так что от сложности тут никуда не уйти, а справиться с ней как и в любом случае помогают последовательность и терпение

Да, глубины откроются не сразу. Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности. Я виноват в том, что не потратил лет 5-10 на математику? Да, наверное. Но те, кто потратил, не потратили время на то, чем занимаюсь я. Хотя согласен, я здесь в положении просителя.

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

оптимизировать беспредельно тут нельзя, некоторая сложность всегда останется, и иногда внушительная

Пусть останется "некоторая", а остальная уйдёт. Так ведь лучше?

Математики наработали множество алгоритмов, но применимость алгоритмов нереальна без наличия математиков. Оно понятно в нынешней системе "мотивации", но даже в ней есть другие примеры - программы (суть алгоритмы) пишут для использования без программистов. Хотя и там есть сложности у пользователей - и там им, бывает, приходится ходить на поклон к программистам.

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

Плюс так как времени и ресурсов у нас пока не бесконечно, обычно приходится где-то жертвовать аккуратностью и срезать углы

Но всё же такой момент не может быть оправданием при рассмотрении абстрактных вещей. Абстракция изолирована от реализации.

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

На самом деле в конечном итоге всё в (современной) математике утыкается в аксиоматические определения вида «утка — это то, что вот так выглядит и вот так крякает», так что наивный редукционизм «я пойму нечто, только представив его как структуру из более простых вещей» особого смысла не имеет — он не доводит до некоторого самоочевидного источника, он обрывается рано или поздно.

Описательный подход - это молодые науки. Потом следует этап классификации. Потом вводятся формулы (модели в общем случае). Далее просто всё решают на компьютерах. И да, последний этап пока не достигнут :)

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

определение понимания — возможность манипулировать вещью в голове как угодно.

Согласен. Построение модели. А после неё - всё решают на компьютерах.

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

И я уверен, что аккуратная практика ничем особенно не отличается от теории. Она отличается тем, что задачи приходят из реальности от людей, и кучей следствий из этого, вот и всё.

Мне кажется, что в физике можно устроить эксперимент, а вот в математике - вычислительная сложность мешает. Поэтому путь на практике сокращается экспериментом гораздо больше, чем в математике. Но зато на практике требования к результату жёсткие по времени.

-- 10.11.2018, 19:11 --

Someone в сообщении #1352969 писал(а):

Кстати, могу порекомендовать следующую книгу: А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. "Наука", Москва, 1972.

Скачал. Буду читать. Спасибо.

-- 10.11.2018, 19:15 --

nya в сообщении #1352984 писал(а):

Более-менее есть только группы, кольца, кольца (алгебры) ли и модули. Группы - это обобщенные 'симметрии объекта', алгебры ли - это обобщенные 'дифференцирования объекта', кольца - это обобщенные 'функции на объекте', модули - это обобщенные 'векторные расслоения' (множества всех 'векторных полей') на объекте.

Познавательно. Добавляет описание результата к функции типа "изучаем алгебру Ли" (или другую).

nya в сообщении #1352984 писал(а):

Универсальная алгебра или теория категорий.

Да, спасибо, правда выше уже упоминалось.

-- 10.11.2018, 19:19 --

Someone в сообщении #1353078 писал(а):

Понятие — это выделенный каким-либо образом класс объектов.

То есть первый шаг в классификации. Потом должны появиться модели.

-- 10.11.2018, 19:25 --

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):

alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):

А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает?

Какие изменения? Если подразумеваются не изменения, а построение новых объектов, то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств.

Да, изменения есть появление новых объектов (или новой структуры в существующем сложном объекте).

Тогда получается, что нельзя начать с одного пустого множества. Нужно дать понятие множества непустого (в аксиомах, например), а затем ввести такое понятие в набор доступных для изучения объектов. А потом всё же ввести понятие операции, обозначенной как "применение тех или иных аксиом теории множеств". Или сразу сказать - берём пустое множество и все аксиомы теории множеств. Но может какие-то аксиомы при таком подходе станут избыточными?

[Munin]

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности.

Так говорят все, кто начинают изучать что-то сложное. Они хотят попроще. Но проще не бывает. Всё равно некоторое количество знаний надо прочитать и уложить в голову. Это работа. И в отлаженных курсах и так уже проложены самые асфальтированные дороги, какие только можно.

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):

Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.

Вы чего, это ж смотря где.

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):

то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств

Не только из пустого. Если мы говорим о теориях типа ZF-минус-I, из пустого можно настроить только т. н. наследственно конечные множества.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

А как иначе? Изучить всё-всё-всё? А так бывает?

В трансгуманистском идеале почему бы и нет. Если всё — это всё известное на данный момент среди остальных. Но к теме, конечно, это мало относится.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности.

Ну так пересечённость может быть только в логистике, а не в самом, так сказать, теле, если мы говорим о довольно древних результатах, а не о bleeding edge, до которого в любом случае ещё идти. ут надо начинать конкретику, в абстрактном мы с вами дообсуждаемся до вопроса о числе ангелов на кончике иглы.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

Но всё же такой момент не может быть оправданием при рассмотрении абстрактных вещей. Абстракция изолирована от реализации.

Так при срезании углов как раз жертвуют нужным числом абстракций и получают, ну, то, что получают, что часто людям неудовлетворительно. Возможно, вы как раз жертва срезания углов в том, что читали, и потому не удовлетворены. Тут надо задать конкретный вопрос и вам можно будет посоветовать конкретную хорошую литературу. А так вы как раз приводите пример абстракции, изолированной от реализации.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

Описательный подход - это молодые науки.

А кто говорит про описательный подход? Это не описательный подход, это как раз вещь, возможная исключительно в математической науке: определить понятие в точности тем, что ему присуще (а что нет). В других мы заинтересованы в соответствии реальности, тут это не мешает.

Если вы программировали на языках с ООП и интерфейсами (или абстрактными классами, но интерфейсы в этом плане лучше, они свободнее), вы можете соотнести абстрактные математические понятия с последними.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

а вот в математике - вычислительная сложность мешает

Я не уверен, что к практическим вопросам математические наблюдения относятся как-то больше, чем к непрактическим. В любом случае они дают нам только идеи (это большой плюс и почти единственная причина делать численные эксперименты вообще), но не дают доказательств.

Я бы ещё сказал, что модели не сводятся к классификации, и что математические теории сами по себе и есть «модели», ибо они представляют собой точное описание соответствующей «математической реальности». Проблема не в том что нет моделей, проблема изучения в том, чтобы создать адекватную для нашей ограниченной в средствах голове внутренней модели на основе точно описанной математической, чтобы мы могли ею оперировать. И про эту проблемы выше я и другие уже понаписали, она в сущности поведенческая и для каждого конкретного человека отдельная, а не какая-то более глубокая и разрешимая для всех сразу волшебной таблеткой.

В общем когда пойдёт конкретика, можно будет добавить что-то полезное, а так это в основном переливание воды.

[Qlin]

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):

Тогда получается, что нельзя начать с одного пустого множества. Нужно дать понятие множества непустого (в аксиомах, например), а затем ввести такое понятие в набор доступных для изучения объектов. А потом всё же ввести понятие операции, обозначенной как "применение тех или иных аксиом теории множеств".

Вы путаете аксиоматику, определения и вывод. Пустое множество — определяемое понятие, его можно выразить средствами исходного языка. Непустые множества строятся с применением аксиом, то есть про них доказываются теоремы. Синтаксическая операция, обозначенная как "применение тех или иных аксиом теории множеств" — это вывод.

[arseniiv]

Qlin
Боюсь, эта ветка разговора вообще только запутает ТС. При том, что она опять же не в должной степени аккуратна.

«Строятся» множества только в том смысле, что мы имеем возможность доказать существование и единственность объекта с соответствующим свойством, и если мы сразу докажем довольно общие теоремы такого вида, мы можем навводить функциональных символов ненулевой арности и в более традиционном смысле строить из этих функциональных символов термы, обозначающие множества, при этом ничего уже специально для этого не доказывая.

Qlin в сообщении #1353141 писал(а):

Синтаксическая операция, обозначенная как "применение тех или иных аксиом теории множеств" — это вывод.

Ну нет же. Аксиомы вообще не применяются, они как раз листья в дереве вывода. Применяются правила вывода. (То есть мы конечно можем поднять любую аксиому до соответствующего правила, но если тривиальным образом, ничего не поменяется: будут нульместные.) Плюс на вывод для языков первого порядка обычно накладываются ограничения, так что это даже не просто применение правил вывода к выводам меньшей длины конечное число раз.

[Someone]

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):

Бесконечное множество присутствует явно, если у вас есть аксиома бесконечности. Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.

С чего бы вдруг?

[vpb]

alex55555
Плохо (или почти никак) понимая сам предмет (в данном случае математику), размышлять о каких-то предельно общих, философских вещах относительно данного предмета --- чрезвычайно неполезно. Лучше умственно освоить что-то небольшое конкретное. Выше Someone рекомендовал хорошую книжку. Я позволю себе рекомендовать еще одну: Э.Фрид, Элементарное введение в абстрактную алгебру. Она, правда, посложнее и поабстрактнее, но, в принципе, тоже о симметриях, и об алгебраических структурах. Сначала долго обсасывается понятие группы (и полугруппы тоже), а потом идут векторные пространства, поля и т.д.

[Qlin]

(arseniiv, Someone)

В KP одна из аксиом избыточна: либо бесконечности, либо пустого множества.

[vpb]

alex55555
Посмотрел другую Вашу тему, что пять дней назад писали. Однозначно, Вам две вышеупомянутые книжки показаны. Всё прочее, что Вы писали в этой теме --- совершенно малоосмысленные речи.

[alex55555]

Munin в сообщении #1353108 писал(а):

Так говорят все, кто начинают изучать что-то сложное. Они хотят попроще. Но проще не бывает.

Стандартная проблема "отстающих" - они упустили очередной кирпич в основании башни знаний, а потом им не на что опереться. Мне бы хотелось, что бы этот пропущенный кирпич можно было бы легко найти. А сказать "плите, Шура, пилите" ... ну в общем вы поняли.

Но я совсем не против напрячься, если вы (как и ряд других участников) считаете меня ленивым.

-- 11.11.2018, 16:36 --

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

Возможно, вы как раз жертва срезания углов в том, что читали, и потому не удовлетворены. Тут надо задать конкретный вопрос и вам можно будет посоветовать конкретную хорошую литературу.

Да, с конкретикой, я надеюсь, как-нибудь зайду сюда снова :)

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

Это не описательный подход, это как раз вещь, возможная исключительно в математической науке: определить понятие в точности тем, что ему присуще (а что нет).

Да, в точности утка - это утка. Но в такой точности она сложнее, чем утка из отряда водоплавающих семейства утиных. Фотография важна, когда речь о конкретике, но мы же говорим об обучении, где не применимо перечисление фотографий уток, но вполне применимо указание на дерево видов и семейств живых организмов.

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

Если вы программировали на языках с ООП и интерфейсами (или абстрактными классами, но интерфейсы в этом плане лучше, они свободнее), вы можете соотнести абстрактные математические понятия с последними.

Вообще-то ближе понятие класса, включающего и данные (множество, элементы) и поведение (операции).
Интерфейс же показывает лишь операции. И хотя по ним можно вывести данные, но наличие данных в готовом виде на многие порядки может сократить потребность в вычислениях. В переложении на понимание - одних операций мало, нужны промежуточные результаты в виде неких структур данных, потому что иначе обучение будет очень долгим.

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

они дают нам только идеи (это большой плюс и почти единственная причина делать численные эксперименты вообще), но не дают доказательств.

Простым перебором можно доказать или опровергнуть множество теорем, но при наличии достаточных вычислительных мощностей.

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

Я бы ещё сказал, что модели не сводятся к классификации, и что математические теории сами по себе и есть «модели», ибо они представляют собой точное описание соответствующей «математической реальности».

Да, безусловно. Классификация - лишь этап на пути к моделям.

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):

Проблема не в том что нет моделей, проблема изучения в том, чтобы создать адекватную для нашей ограниченной в средствах головы внутренней модели на основе точно описанной математической, чтобы мы могли ею оперировать.

Именно с этим я и сталкиваюсь, когда пытаюсь представить некую модель в голове, но она "не работает" из-за отсутствующих деталей. Банальное разнообразие (вольность) в использовании математических знаков приводит к неработоспособности программы в голове. И редко бывает так, что авторы сначала поясняют смысл знаков, и лишь потом рассказывают о их применении. Как минимум я на это часто обращал внимание, хотя, математически выражаясь, количество может быть весьма скромным. Но спрашивать про каждый знак здесь - просто гигантские объёмы потребуются. Поэтому упрощённые книги выглядят привлекательно. Но в них другая проблема - бывает много воды. В результате пробовал читать разные книги и в классических (Холл) быстро сталкивался с "неразжёванными" знаками или переходами между понятиями. А в менее рекомендованных в качестве учебников (Курош) встречал более вменяемые пояснения, но там другая проблема - такие книги считают более энциклопедическими, что ли, то есть не вводящими в предмет, а скорее справочного назначения. В других альтернативных вариантах присутствует много "специфического", как например масса примеров групп на основе тех разделов математики, которых я никогда не касался. В общем оптимальное чтение пока не нашёл, но вижу плюсы и минусы как в упрощённых, так и в сложных вариантах. Поэтому предложения почитать сначала что-то простое не всегда считаю правильным, ведь там возникнет серьёзная проблема - не упустить (не забыть) определения десятков понятий за пространными рассуждениями о простом, отвлекающими от определений и старательно забивающими их в памяти. Может вы с таким сталкивались? Нашли какой-то компромисс?

[arseniiv]

(Qlin)

Qlin в сообщении #1353226 писал(а):

В KP одна из аксиом избыточна: либо бесконечности, либо пустого множества.

1. Блин, еле догадался, что это теория Крипке—Платека. Ну так вы бы сразу писали об этом, а то кто-нибудь же решит, что вы обо всех теориях множеств говорите (или о тех, которые обычно используются в качестве основания, когда возникает нужда лезть в основания).
2. Не «либо». У вас не получится доказать аксиому бесконечности из остальных аксиом не только KP, но даже и ZF и ZFC. Существует модель ZFC без I с «аксиомой конечности» («никакое собственное подмножество множества не равномощно ему») — $V_\omega$, множество наследственно конечных множеств, я о них выше даже писал.

Ну почему вы сами не проверяете то, что пишете, почему это должны делать другие?