Нормализаторы и нормальные подгруппы

[bayah]

Была тема про нормализаторы и нормальные подгруппы и приводился пример вычисления нормализатора.
В общем есть следующая группа:
$G = GL(2, F) = \Bigl\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big | a,b,c,d \in F, ad - bc \neq 0 \Bigr\}$
И в ней подгруппа:
$H = U(2, F) = \Bigl\{\begin{pmatrix} 1 & h \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Big | h \in F \Bigr\}$
, где $F = \mathbb R$, для примера.

Нужно найти нормализатор $H$ в $G$, то есть $N_G(H) = \{g \in G | gH = Hg\}$.

Пусть $u_1 = \begin{pmatrix} 1 & h_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1 & h_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H$
И дальше, как я понял, ищется такой $g$ для которого выполняется:
$gu_1 = u_2g$

В лекции утверждается, что $g =\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \in N_G(H) = B(2,F)$.
Но тогда, если подставить получим:
$\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & h_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & xh_1 + y \\ 0 & z \end{pmatrix}$, а если наоборот, то
$\begin{pmatrix} 1 & h_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y+h_2z \\ 0 & z \end{pmatrix}$.
Получается чтобы они были равны нужно чтобы $xh_1 = zh_2$.
Так вот каким образом они равны?

[Slav-27]

bayah в сообщении #1349806 писал(а):

Так вот каким образом они равны?

Меняя $h_1$ в первой, вы будете пробегать некоторое множество. Меняя $h_2$ во второй, вы тоже будете пробегать некоторое множество. Эти множества одинаковые, что и требуется.

[bayah]

Slav-27 в сообщении #1349830 писал(а):

Меняя $h_1$ в первой, вы будете пробегать некоторое множество. Меняя $h_2$ во второй, вы тоже будете пробегать некоторое множество. Эти множества одинаковые, что и требуется.

Ну допустим $|H| = n$. В первом случае я пробегу все $\{xh_1, xh_2, \dots, xh_n \}$, а во втором $\{zh_1, zh_2, \dots, zh_n \}$.
Почему они должны быть равны?

[bayah]

bayah в сообщении #1349897 писал(а):

Ну допустим $|H| = n$. В первом случае я пробегу все $\{xh_1, xh_2, \dots, xh_n \}$, а во втором $\{zh_1, zh_2, \dots, zh_n \}$.
Почему они должны быть равны?

Аа... там же $x \in \mathbb R$ и $h \in \mathbb R$, а так жe $xh \in \mathbb R$.
Тогда, для всякого $xh_1$ найдется $h_2$, что $xh_1 = zh_2$, а именно $h_2 = \dfrac{xh_1}{z} \in \mathbb R$
Так?

[vpb]

bayah в сообщении #1349920 писал(а):

Так?

Да, именно так. Если в правом верхнем углу $u$ находится $h$, то в этом же месте элемента $gug^{-1}$ находится $xz^{-1}h$. Если мы отождествим $U$ с ${\mathbb R}$ (матрица из $U$ соответствует при этом тому элементу ${\mathbb R}$, что в углу, а умножению матриц соответствует сложение чисел из ${\mathbb R}$), то можно еще сказать, что сопряжение элементом $g$ действует на $U\cong{\mathbb R}$ как умножение на $xz^{-1}$.

[bayah]

vpb в сообщении #1349951 писал(а):

Да, именно так. Если в правом верхнем углу $u$ находится $h$, то в этом же месте элемента $gug^{-1}$ находится $xz^{-1}h$. Если мы отождествим $U$ с ${\mathbb R}$ (матрица из $U$ соответствует при этом тому элементу ${\mathbb R}$, что в углу, а умножению матриц соответствует сложение чисел из ${\mathbb R}$), то можно еще сказать, что сопряжение элементом $g$ действует на $U\cong{\mathbb R}$ как умножение на $xz^{-1}$.

Спасибо!)
До сопряжений еще не дошел, чтобы осмыслить дальнейшее, но скоро.