На листке бумаги написан набор натуральных чисел

[ET]

bitcoin
Если что, когда я говорил, что "у каких-то двух равные остатки на 13", я имел ввиду "у каких-то двух из $a_i$"
Ладно, умолкаю, и так натрепался больше, чем надо.

[Someone]

bitcoin в сообщении #1348301 писал(а):

такие числа с одинаковой разностью точно должны быть

Не с одинаковой разностью, а с одинаковыми остатками.

bitcoin в сообщении #1348301 писал(а):

Ну делится разность на 13, да, но ведь сумма-то не факт, что делится на 13 у этих же чисел.

Вы бы всё-таки написали. Размахивания руками недостаточно.

[bitcoin]

Я очень жутко затупил, спасибо, что помогли разобраться ясно, что $a_j-a_i=\sum r_k$, потому приходим к противоречию, значит больше 13 быть не может.

[Someone]

А $13$ может быть?

[bitcoin]

Someone в сообщении #1349831 писал(а):

А $13$ может быть?

Извините, да, поторопился, $12$ может быть, а $13$ не может. Как раз мы доказываем от противного: Если нашлись $13$ или более остатков, то возьмем $13$ из них, так как среди $a_1,a_2,a_3,...,a_{13}$ есть хотя бы два числа, которые имеет одинаковый остаток при делении на $13$ (если среди $a_i$ нет чисел с остатком $0$), то разность двух членов этой последовательности делится на $13$, а эта разность равна сумме остатков (или одному из остатков), потому сумма остатков или остаток делится на $13$, а значит мы пришли к противоречию (а случай, когда один из $a_i$ делится на $13$ очевиден), то есть больше $12$ остатков быть не может.

Извините, пожалуйста, за задержку с ответом!