Найти ортогональное дополнение пространства

[AnthonyP]

$M=\left\lbrace x\in l^2: \sum\limits_{k=1}^{n}x_k=0 \right\rbrace$
Найти $ M^{\perp}$ и $\rho(e_1,M)$
Определения:
$M^{\perp}=\left\lbrace x \in H : x \perp M \right\rbrace$
Элементы ортогональны, если $(x,y)=0$
Правильно ли я понимаю, что $M^{\perp}$ это такое множество $s_n$, что сумма $\sum\limits_{k=1}^{n}(s_k,x_k)$ не меняется? То есть это множество любых констант?

Ко второй части задания $\rho(e_1,M)$ даже не знаю как подступиться.
$e_1=(1,0,0...)$. В какую сторону копать дальше?

[thething]

AnthonyP в сообщении #1348156 писал(а):

То есть это множество любых констант?

Это не может быть множество констант. Оно состоит из векторов. Подумайте, какому вектору могут быть ортогональны все вектора из $M$. Вспомните определение расстояния от элемента до подпространства и как в гильбертовом пространстве считать это расстояние через проекцию элемента. Также поможет теорема о разложении гильбертова пространства в прямую сумму (чтобы подобрать нужный ортогональный элемент и проекцию $e_1$).

[AnthonyP]

thething в сообщении #1348167 писал(а):

Подумайте, какому вектору могут быть ортогональны все вектора из $M$

Единичному вектору вроде как. Точнее не только ему, а любому $(1,1,1...),(2,2,2...),(3,3,3...)$ и тд?

[Someone]

AnthonyP в сообщении #1348177 писал(а):

Единичному вектору вроде как. Точнее не только ему, а любому $(1,1,1...),(2,2,2...),(3,3,3...)$ и тд?

Попытайтесь это проверить: подставьте в определение ортогональных векторов.

-- Вс окт 21, 2018 20:10:20 --

Да, ещё важный вопрос: принадлежат ли эти векторы пространству $l^2$?