Условие принадлежности точек заданному множеству

[1r0pb]

Добрый день,
допустим имеются множества:

$M=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-c_1)^\top P_1(x-c_1)=1,\ (x-c_2)^\top P_2(x-c_2)=1\}$

и

$M_1=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-a_1)^\top R_1(x-a_1)=1,\ (x-a_2)^\top R_2(x-a_2)\leq 1\},$

$M_2=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-b_1)^\top Q_1(x-b_1)\leq 1,\ (x-b_2)^\top Q_2(x-b_2)=1\}.$

Можно ли получить условие(ия) принадлежности(не принадлежности) $M\subset M_1\cup M_2?$ На мой скромный взгляд это очень непростая задача...
Спасибо.

-- Пт окт 19, 2018 00:25:23 --

Были мысли поставить задачу минимизации расстояния от множества $M$ до $M_1\cup M_2.$

[worm2]

$x\in \mathbb{R}^2: (x-x_0)^\top Y(x-x_0) \leqslant 1$ — это эллипс, соответственно, $\dots = 1$ — это его граница, $M$ — это пересечение двух границ эллипса (от 0 до 4 точек, за исключением вырожденного случая $P_1=P_2$, $c_1=c_2$), $M_1$, как и $M_2$ — часть границы эллипса, находящаяся внутри или на границе другого эллипса.
Отсюда можно плясать. Можно найти фокусы эллипсов и переписать условия в виде системы уравнений и неравенств вида $|x-p_i|+|x-q_i| = (\leqslant) r_i$. Не знаю, можно ли это назвать решением, ведь по сути у нас изначально уже есть система уравнений и неравенств.
Понятно, что численно всё решается.

[mihaild]

worm2 в сообщении #1347474 писал(а):

$x\in \mathbb{R}^2: (x-x_0)^\top Y(x-x_0) \leqslant 1$ — это эллипс

Это только если $Y$ положительно определена. В общем случае там и гипербола, и пара прямых могут быть.

[1r0pb]

Да, положительная определенность подразумевается.
Мне требуется сам факт того, что найдется(или не найдется) хотя бы одна точка(координаты которой мне знать нет необходимости) из множества $M$, которая не принадлежит объединению $M_1$ и $M_2$. То есть, имея на руках заданные центры и определяющие матрицы, можно было дать "аналитический ответ".

[worm2]

При виде этой задачи совсем из головы вылетело, что бывают неположительно определённые квадратичные формы. Но я угадал

[DeBill]

1r0pb
Каждая из систем легко сводится к системе вида: многочлен 4-й степени от $y$ (результант системы); $x = \frac{A_2(y)}{A_1(y)}$ с многочленами от $y$ первой и второй степени. А вот дальше - начинается дурной перебор типа: а сколько решений у первой системы? (это надо мучить многочлен 4-й степени) Как решения первой системы (их - от 0 до 4) распределены по двум другим множествам? Например, если решений - 4, и распределены 2-2: делаем то же самое с двумя другими системами; ищем НОДы результантов главной системы, и двух других: надо, чтобы оба имели степень 2, а разность соответствующих дробей (выражающих $x$) делилась на соответствующий НОД.
Это и даст условия на коэф-ты систем. И так - для всех вариантов - жуть....