Уравнение в рациональных числах высокой степени

[versham]

Нужно решить в рациональных числах уравнение
$\[ 9m^4-36m^3+22m^2+36m+9=a^2 \]$

Точнее, необходимо доказать, что у этого уравнения конечное количество решений при $m>1$.
Хотелось бы узнать, хотя бы в какую сторону копать для решения задач такого типа.

[Sonic86]

Это очень-очень простое уравнение. Ограничения на $m$ вообще не нужны.
Рассмотрите его по удобному модулю и все.

versham в сообщении #1345621 писал(а):

Хотелось бы узнать, хотя бы в какую сторону копать для решения задач такого типа.

А о каком конкретно типе речь? Уравнение - одно, но типов у него - много.

[ИСН]

Какому модулю? Выделяем полный квадрат и привет!

[StaticZero]

versham
Указание. Разделить левую и правую части на $m^2$ и воспользоваться тем, что

$$ m^2 + \frac{1}{m^2} = \left(m - \frac{1}{m}\right)^2 + 2. $$

[ИСН]

Видите, versham, как много разных, совершенно непохожих друг на друга типов таилось в одном уравнении.

[versham]

Тип: уравнения в рациональных числах высоких (4) степеней.

Sonic86
Не совсем понимаю, как модуль поможет в задачах, где числа не целые? Или вы предлаегаете расписать $m=\frac{p}{q}$?

StaticZero
На сколько я понял, вы предлагаете мне сделать замену $t=m-\frac{1}{m}$ и перейти квадратному уравнению
$\[9t^2-36t+40=a^2\]$
Я умею решать такие уравнения (с помощью метода секущих). Общая формула для $t$ будет такой:
$\[t=2\cdot\frac{9c^2-40c+40}{9c^2-36c+32}\]$
где $c\in\mathbb{Q}$. Но проблема заключается в том, что после этого нужно будет перейти от $t$ к $m$, но никакой гарантии, что $m$ будет рациональным нет. Если требовать, чтобы у уравнения
$\[m^2-mt-1=0\]$
корень из дискриминанта был рациональным мы переходим к другому уравнению в рац. числах (опять 4 степени), теперь уже на $c$:
$\[162c^4-1368c^3+4192c^2-5504c+2624=b^2\]$

[Someone]

versham в сообщении #1345713 писал(а):

$\[9t^2-36t+40=a^2\]$

$=\frac{a^2}{m^2}$

[versham]

Someone
Да, верно, но это не решает проблемы. В любом случае $9t^2-36t+40$ должно быть квадратом рационального числа.

[Someone]

(versham)

versham в сообщении #1345716 писал(а):

но это не решает проблемы

Я просто обратил Ваше внимание на опечатку.

[Shadow]

versham в сообщении #1345621 писал(а):

Точнее, необходимо доказать, что у этого уравнения конечное количество решений при $m>1$.

Вряд ли

$2,\dfrac 9 4,\dfrac{388}{225},\dfrac{8551056081932}{3056224568175}$

[Sonic86]

ИСН в сообщении #1345695 писал(а):

Какому модулю?

Ооо, прошу извинить, я неправильно вычислил $22 \mod 3$

versham в сообщении #1345713 писал(а):

Sonic86
Не совсем понимаю, как модуль поможет в задачах, где числа не целые? Или вы предлаегаете расписать $m=\frac{p}{q}$?

Забейте, я ошибся.

[Sonic86]

ИСН в сообщении #1345695 писал(а):

Выделяем полный квадрат и привет!

Не выделяется там ничего - у $36$ разные знаки. Или я уже совсем отупел?

Моя последняя попытка: уравнение $f(m)=9m^4-36m^3+22m^2+36m+9=0$ имеет более-менее красивые корни, поэтому $f(m)$ можно разложить на 2 квадратичных множителя над $\mathbb{Z}[i]$, которое - область главных идеалов. Над ОГИ уравнения вида $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=y^2$ можно пытаться решать выходом в $\mathbb{Z}[i]$ через алгоритм Евклида. Только я сам отказываюсь это делать, муторных вычислений будет много, возможно тоже будут подводные камни.

versham в сообщении #1345713 писал(а):

Тип: уравнения в рациональных числах высоких (4) степеней.

Боюсь, что таких алгоритмов не существует в принципе.

[hund]

Sonic86 в сообщении #1345819 писал(а):

Боюсь, что таких алгоритмов не существует в принципе.

Ну ведь 4-я степень максимальна для аналитического решения. Если плясать от формулы Кардано, то, возможно, что найдётся доказательство, что в 4-этажных комплексных корнях кратных рациональным не наблюдается. Какая-то рекуррентная последовательность по $a^2$, в которой не находится рациональных решений.

[Shadow]

На эллиптической кривой бесконечно много рац. точек, вкл. таких, при которых $m>1$
Что решаем/доказываем то?

[hund]

Shadow
Найдите рациональные точки в эллиптической кривой $x^2+y^2 =\sqrt{2}$