Эвивалентность формулировок

[main.c]

Где я могу почитать про доказательство эквивалентности формулировок:
1. $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x }$
2. $p_k \sim k \ln k$
?
Сам я смог лишь доказать, что первое эквивалентно следующему:
$p_k \sim k \ln p_k$

[grizzly]

main.c в сообщении #1337588 писал(а):

Сам я смог лишь доказать, что первое эквивалентно следующему:
$p_k \sim k \ln p_k$

И что если подставить это значение $p_k$ в правую часть этой же формулы?

[main.c]

$p_k \sim k \ln p_k \sim k \ln (k \ln p_k) = k \ln k + k\ln \ln p_k \sim k \ln k + k \ln \ln k + k \ln\ln\ln p_k$
Так как $\ln \ln k = o(\ln k), k \to \infty$, то это слагаемое можно опустить. Можно и дальше подставлять $p_k$ в правую часть в итоге у нас получится:
$p_k \sim k \ln k + \lim\limits_{n \to \infty} k \ln^n p_k $
Я как бы понимаю, что предел в правой части равен 0, но не могу понять, как это доказать.

[Otta]

main.c в сообщении #1337588 писал(а):

$p_k \sim k \ln p_k$

равносильно $p_k/\ln p_k \sim k $, а это в точности

main.c в сообщении #1337588 писал(а):

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x }$

[main.c]

Otta в сообщении #1337967 писал(а):

main.c в сообщении #1337588 писал(а):

$p_k \sim k \ln p_k$

равносильно $p_k/\ln p_k \sim k $, а это в точности

main.c в сообщении #1337588 писал(а):

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x }$

Да, я понимаю это, именно так я и перешел к $p_k/\ln p_k \sim k $, но доказать мне нужно, что $p_k \sim k \ln k $

[grizzly]

main.c в сообщении #1337965 писал(а):

$p_k \sim k \ln p_k \sim k \ln (k \ln p_k) = k \ln k + k\ln \ln p_k $

Этого достаточно пока.

Теперь нужно понять, что $\displaystyle \lim_{k\to \infty}\frac{k\ln \ln p_k}{p_k} =0$. Но Вы уже знаете, что $p_k\sim k\ln p_k$. Подставляем: $\displaystyle \frac{k\ln \ln p_k}{k\ln p_k} = \frac{\ln \ln p_k}{\ln p_k}\to 0, k\to \infty $. Я не думаю, что это может вызывать трудности

[main.c]

grizzly в сообщении #1337972 писал(а):

Я не думаю, что это может вызывать трудности

Да, спасибо, разобрался.