Ясно, что в каждой строке (а равно столбце или большой диагонали) одна клетка должна остаться пустой. Тогда должно быть самое большее

белых и

чёрных шашки.
Следовательно, оцениваю верхнюю границу такой расстановки -

белых и

чёрных шашки. Больше разместить нельзя.
Только вот что-то сама расстановка у меня не получается. Иду думать.