Доказательство интегрируемости функции ограниченной вариации

[deep blue]

Хочу доказать прямым способом, что функция ограниченной вариации V интегрируема по Риману на $[a,b]$.

(Доказательство)

Пусть $a=x_0,x_1,...,x_n=b$ разбиение отрезка $[a,b]$ на равные части.
Нужно показать что выполняется критерий интегрируемости, т.е. разность между верхней и нижней суммами Дарбу стремится к нулю $U_n-L_n \to 0$
Показываем $U_n-L_n = \sum\limits_{i=1}^{n}(M_i-m_i)\frac{1}{n} \le \sum\limits_{i=1}^{n}V_i\frac{1}{n} = \frac{V}{n} \to 0$
где $M_i,m_i,V_i$ это максимум, минимум и вариация функции на i-ом отрезке.

Допустимо ли такое доказательство?

[grizzly]

deep blue в сообщении #1336695 писал(а):

Допустимо ли такое доказательство?

Перед последней дробью в формуле должен быть знак неравенства. И нужно указывать, к чему стремится $n$. А так нормально.

[alcoholist]

а что тут удивительного?-)
Функции ограниченной вариации для того, чтобы по ним интегрировать, а не их

-- Ср сен 05, 2018 00:23:26 --

grizzly в сообщении #1336706 писал(а):

Перед последней дробью в формуле должен быть знак неравенства

аддитивность же

[DeBill]

Del

[thething]

deep blue
Докрутить всё-таки надо, поскольку равномерное разбиение -- это частный случай, в критерии интегрируемости участвует произвольное сколь угодно мелкое разбиение.

[DeBill]

thething
В критерии Дарбу достаточно предъявить конкретное разбиение с (сколь угодно) малым колебанием.
Хотя, с другой стороны, и для любого разбиения все выкладки проходят.

[thething]

DeBill
А это -- смотря какой из критериев имелся ввиду. Я так понял, что самый первый, где верхний интеграл равен нижнему, и в нём участвует именно произвольное разбиение. Ну а если ТС имел ввиду именно следствия, которые в терминах колебаний, то к чему тогда выписывать верхние и нижние суммы, если можно просто и без затей сразу выписать сумму через колебания, оговорив, какой именно критерий используется.

[DeBill]

thething
А, ну да. Просто я всегда рекомендую студентам именно третий - как самый простой для проверки...