Найти кривую, где площадь области ... равна кубу ординаты

[thething]

jdex в сообщении #1334097 писал(а):

Я не знаю, но наверное будет не совсем правильно называть эти условия начальными (теорию интегральных уравнений я не читал).

Почему, правильно, для дифура оно и есть начальное. Я сперва правда подумал, что нижний предел не обязан быть нулевым, но тогда ограниченности обеими осями не будет, так что условие правильное.

[EUgeneUS]

Хм.
Условие, конечно, так себе для понимания.

Я его трактовал так: нужно считать площадь области, ограниченной осями координат, кривой и горизонтальной линией $y=y_0$

Тогда для монотонно возрастающей функции (а она монотонно возрастающая) уравнение такое:

$x_0 y_0 - \int\limits_{0}^{x_0}ydx = y_0^3$

[jdex]

EUgeneUS в сообщении #1334103 писал(а):

Тогда для монотонно возрастающей функции (а она монотонно возрастающая) уравнение такое:

$x_0 y_0 - \int\limits_{0}^{x_0}ydx = y_0^3$

Как понимаю, нижний предел интегрирования в таком случае не обязательно должен быть равен нулю. Если Вы продифференцируете уравнение по $x$, то получите тот же результат, что и я в начале.

[gris]

А тождественный ноль не считается? Вроде бы в первом послании не говорится о возрастании

[EUgeneUS]

jdex в сообщении #1334112 писал(а):

Как понимаю, нижний предел интегрирования в таком случае не обязательно должен быть равен нулю.

Он как бы может быть и не равен нулю, но потом получается, что искомая кривая всё равно проходит через $(0;0)$.

jdex в сообщении #1334112 писал(а):

Если Вы продифференцируете уравнение по $x$, то получите тот же результат, что и я в начале.

Его и получил, и ещё решение $y' = 0$, это, кстати, ответ на комментарий уважаемого gris

[jdex]

EUgeneUS в сообщении #1334151 писал(а):

Его и получил, и ещё решение $y' = 0$, это, кстати, ответ на комментарий уважаемого gris

$y'$ равен тождественно нулю, или $y$ равен тождественно нулю?

[EUgeneUS]

jdex в сообщении #1334251 писал(а):

$y'$ равен тождественно нулю, или $y$ равен тождественно нулю?

Вы же сами смогли продифференцировать интегральное уравнение :

jdex в сообщении #1334112 писал(а):

Если Вы продифференцируете уравнение по $x$, то получите тот же результат, что и я в начале.

А значит получили уравнение $y'(x-3y^2)=0$

Одним из решений является $y' = 0$, а значит $y=C$
После чего найденное решение подставляем в исходное интегральное уравнение, чтобы найти $C$
Вот и находим, что $C=0$, а $y\equiv 0$.

[jdex]

EUgeneUS в сообщении #1334253 писал(а):

Вы же сами смогли продифференцировать интегральное уравнение :

Я понял, что Вы имеете в виду уравнение $\int\limits_{0}^{x}y(t)dt = y(x)^3$ :) Разве $y\equiv0$ не будет одним из решений этого уравнения?

[EUgeneUS]

jdex
1. Я имел в виду уравнение:

EUgeneUS в сообщении #1334103 писал(а):

$x_0 y_0 - \int\limits_{0}^{x_0}ydx = y_0^3$

2. Но и для уравнения

jdex в сообщении #1334257 писал(а):

$\int\limits_{0}^{x}y(t)dt = y(x)^3$

$y\equiv 0$ будет решением, впрочем обратного и не утверждал.

[jdex]

EUgeneUS, понял, спасибо.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1334103 писал(а):

Тогда для монотонно возрастающей функции (а она монотонно возрастающая) уравнение такое:

$x_0 y_0 - \int\limits_{0}^{x_0}ydx = y_0^3$

Ну и чем оно отличается от $\int\limits_{0}^{y_0}x\,dy=y_0^3$?

[EUgeneUS]

Munin

Это просто разные площади.

Есть какая-то точка на кривой $(x_0;y_0)$
Есть прямоугольная область, ограниченная прямыми: $x=0$, $y=0$, $x=x_0$, $y=y_0$.
Эта прямоугольная область разбивается кривой на два криволинейных треугольника.
А вот площадь какого из этих треугольников нужно приравнивать к $y^3$ - это вопрос, как трактовать условия задачи.
И уравнения получаются разные, и нетривиальные решения различаются (коэффициент другой).

[Munin]

Жду рисунка.

А ещё хочу комментария, неужели интегрирование по частям не даёт равенства $\int\limits_{0}^{y_0}x\,dy=x_0\,y_0-\int\limits_{0}^{x_0}y\,dx$?

[EUgeneUS]

Munin
Сорри, был невнимателен. Не верно прочитал Ваше уравнение
Ничем не отличаются.

UPD: то, что написано в моем предыдущем сообщении, можно рассматривать как "геометрическую иллюстрацию" интегрирования по частям.

[Munin]

Окей. А тогда чем это всё отличается от уравнения в первом посте темы? (Не считая неудачной "плюс константы".)

-- 24.08.2018 10:28:13 --

Я всё пытаюсь понять, какую интерпретацию условия и какой ответ подразумевали Someone, thething и авторы задачи.