Задача на пружины из Савченко

[inevitablee]

Условие задачи:

Две пружины жесткости $k$, соединенные, как показано
на рисунке, не деформированы. Какой массы груз следует
подвесить к точке соединения пружин, чтобы он опустился
на малое расстояние $x$ в положение равновесия?



Мой ход решения:
Рассмотрим одну из двух пружин. Обозначим ее начальную длину как $x_0$, а конечную - $x_1$. Если я правильно понимаю условие, то несмотря на то, что груз опустился, можно считать, что угол $\alpha$ изменился незначительно. Если обозначить длину вертикального отрезка, соединяющего потолок и точку крепления пружин в начале(в недеформированном состоянии) как $a$, то можно записать соотношение:
$(a+x)/x_1 = a/x_0$. Дальше как-то нужно получить деформацию $x_1 - x_0$ и подставить ее в условие равновесия:

$2F_1 \cos\alpha= mg$, где $F_1$ - сила упругости.

Вроде бы подставив вместо $a/x_0 \cos\alpha$ можно получить, что $x_1-x_0=x/\cos\alpha$. Но ничего не выходит, с ответом не совпадает. Я уверен, что я неправильно ищу деформацию или неверно понимаю значение слов "малое расстояние". Прощу помочь.

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1333653 писал(а):

Прощу помочь.

(Оффтоп)

Прощаю ;).

Нарисуйте треугольник: пружина до деформации, пружина после деформации, смещение груза. Затем посмотрите, как связаны смещение груза и изменение длины пружины.

[Munin]

inevitablee в сообщении #1333653 писал(а):

Если обозначить длину вертикального отрезка, соединяющего потолок и точку крепления пружин в начале(в недеформированном состоянии) как $a$, то можно записать соотношение:
$(a+x)/x_1 = a/x_0$.

Это из "подобных треугольников", что ли? Нет, рассуждение другое:

Вложение:
springs.png

Считая деформацию малой, получают, что в малом треугольнике угол при вершине тоже равен $\alpha.$

[inevitablee]

Munin
Выходит, что $\Delta\l = x\cos\alpha$.
При подстановке по второй закон Ньютона выходит, что
$m=(2kx\cos\alpha)/g$. Это неверно. Если решать через ЗСЭ, то выйдет, что $m=(kx\cos^2\alpha)/g$. Это тоже не совпадает с ответом в задачнике. И вообще, почему массы выходят разные?

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1333668 писал(а):

При подстановке по второй закон Ньютона выходит, что
$m=(2kx\cos\alpha)/g$. Это неверно.

Это неверно, потому что силы натяжения неплохо бы еще спроектировать на вертикаль.

inevitablee в сообщении #1333668 писал(а):

Если решать через ЗСЭ, то выйдет, что $m=(kx\cos^2\alpha)/g$. Это тоже не совпадает с ответом в задачнике. И вообще, почему массы выходят разные?

Если решать через ЗСЭ, то получим максимальное отклонение, которое с положением равновесия совпадать и не должно.

[inevitablee]

DimaM
Ой, да, точно, спасибо

[EUgeneUS]

inevitablee в сообщении #1333668 писал(а):

Если решать через ЗСЭ, то выйдет, что $m=(kx\cos^2\alpha)/g$. Это тоже не совпадает с ответом в задачнике.

Кстати, чтобы убедиться в неверности этого ответа, необязательно смотреть ответ в задачнике.
Проверяем на крайние значения. При $\alpha = 0$ имеем грузик, подвешенный вертикально за две пружинки жесткости $k$, или, что тоже самое, за одну пружинку жесткости $2k$. А значит $m = 2kx/g$ (при $\alpha = 0$), в приведенном выше ответе двойки явно не хватает.