Как в Mathematica построить график в сферических координатах

[max_m]

Всем привет!
Решая одну техническую задачку, получил список (aka массив, упорядоченные тройки, кортежи ...) данных в виде {(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), ... , (xn,yn,zn)}, причем две переменные, скажем x и y - значения углов.
Построил график (x,y,z) в обычных декартовых координатах. Хотел построить график в более естественных для моей задачи координатах - сферических, но столкнулся с неожиданной проблемой: Grapher (не говоря уже про MathCad и Excel) не умеет этого делать (писал в техподдержку Golden Software - ответили, что пока не поддерживает сферические координаты).
Решил попробовать в Mathematica, но, как я понял, и она не может. Возможно, я ошибаюсь, т.к. до этого момента не работал в этой программе.
Может кто-нибудь подсказать, действительно ли великая и ужасная Mathematica не может построить поверхность в сферических координатах по уже известному набору троек (xi,yi,zi)}, а делает это только для параметрически заданной функции? И если да, то что тогда может?

[Aritaborian]

Используйте функцию SphericalPlot3D. Нюансы её использования найдёте в справке.

[max_m]

SurfacePlot3D, как оказывается, не может построить поверхность по заданному набору троек. Пробовал, читал Help - не вышло. На Community.Wolfram нашел такую же тему обсуждения (http://community.wolfram.com/groups/-/m/t/521885), где мои выводы подтвердились - SurfacePlot3D строит только параметрически заданный график. Такие дела...

[Sender]

Можно попробовать получить искомую функцию путём интерполяции:

f=InterpolatingFunction[{{{x1,y1},z1}, {{x2,y2},z2}, ... , {{xn,yn},zn}}];SphericalPlot3D[f[x, y], x, y]

[Geen]

max_m в сообщении #1331147 писал(а):

не может построить поверхность по заданному набору троек.

А это, в принципе, возможно??
Если в случае линии ещё можно полагаться на то в каком порядке указаны точки, то для поверхности этого недостаточно.

[max_m]

Sender, спасибо за совет. Теперь смогу им воспользоваться только через пару недель, но по результатам отпишусь.

Geen, я думаю, что вполне можно. Мое отображение биективно, а показать, как можно их соединить, можно, если представить, что все мои точки накрывает "вуаль", которая стремится стянуться к центру. Это как с тройками в декартовых координатах, где "вуаль" падает на точки.

[Aritaborian]

Я, конечно, был невнимателен, порекомендовав вам SphericalPlot3D. Она строит график функции в сферических координатах, но именно что функции. Но и вы, max_m, хороши. В ответ начали плести что-то о некоей функции SurfacePlot3D, которой в WL вообще нет.
С соображениями Sender согласен, можно попробовать.

max_m в сообщении #1331386 писал(а):

Geen, я думаю, что вполне можно. Мое отображение биективно, а показать, как можно их соединить, можно, если представить, что все мои точки накрывает "вуаль", которая стремится стянуться к центру. Это как с тройками в декартовых координатах, где "вуаль" падает на точки.

Теперь неплохо бы как-нибудь объяснить системе понятия «нутро» и «чуять» «вуаль» и «стремление стянуться»...
Есть ещё функция ListSurfacePlot3D (а, может, вы её и имели в виду?), можно с нею поколдовать.

[max_m]

Да, был невнимателен, когда писал SurfacePlot3D - имел ввиду, конечно же, SphericalPlot3D. Прошу прощения.
Что касается "вуали" и прочих метафор, то я просто хотел этим сказать, что нет принципиальных отличий в построении поверхностей по известному набору точек в декартовых и сферических координатах. И, как мне казалось, команды системе на эти построения не должны сильно отличаться друг от друга. Но, видимо, здесь все не так просто, раз ни одна из известных мне программ не может выполнить построение в сферических координатах по точкам.

[Markiyan Hirnyk]

Команда Мэйпла

plots:-pointplot3d

работает со сферической системой координат. См. справку. Пример по требованию.

[Pphantom]

А Mathematica принципиальна?

Если нет, возьмите gnuplot и

set mapping spherical
splot "data.dat"

где data.dat - файл с данными.

[max_m]

Markiyan Hirnyk, Pphantom, спасибо за советы! Как и говорил, попробовать смогу через пару недель. По результатам отпишусь.

[GAA]

Вроде бы в Maple pointplot3d (по крайней мере, в старых версиях) используется для построения точек (например, для предварительного анализа), а не поверхности. Например. Пусть в списке Data находится список координат $(\rho, \varphi, \theta)$. Cтроим точки, которые для наглядности изображаем маленькими окружностями.

> with(plots):
> L:= 30: M := 20: rho:= 1:
> Data:= [seq(seq([rho, evalf(2*Pi/L*i), evalf(Pi/M*j)], i=0..L), j=0..M)]:
> pointplot3d(Data, axes = boxed, symbol=circle, symbolsize=4, labels=['x', 'y', 'z'], coords=spherical);

Вложение:

pointplot3d.PNG

Если есть возможность построить поверхность при помощи pointplot3d, то пример интересен.

-- Fri 10.08.2018 16:15:45 --

Для построения поверхности в Maple по списку точек, первое приходящее в голову --- функция surfdata. Но тут не всё оказывается так уж просто [и хорошо], особенно в старых версиях, например 15.
-= Добавлено =-
В простейших случаях surfdata, конечно, позволяет построить поверхность. Maple 15:

> with(plots):
> L:= 30: M := 20: rho:= 1:
> Data:= [seq([seq([rho, evalf(2*Pi/L*i), evalf(Pi/M*j)], i=0..L)], j=0..M)]:
> surfdata(Data, axes=frame, labels=[x,y,z], coords=spherical);

Вложение:

surfdata.PNG

Но это почти эквивалентно её заданию в виде функции от двух параметров: имеется регулярная сетка. Опцию source=irregular функция surfdata в Maple 15 не поддерживает.

[GAA]

max_m в сообщении #1331551 писал(а):

Но, видимо, здесь все не так просто, раз ни одна из известных мне программ не может выполнить построение в сферических координатах по точкам.

Как я понял, поверхность в начальном сообщении задана координатами точек в сферической системе координат (с.с.к.), а получить нужно рисунок поверхности в прямоугольной декартовой системе координат (п.д.с.к.). Особенностью большинства пакетов является необходимость задать координаты в виде прямоугольных матриц, в частности, так обстоят дела в Mathcad.

1. Предположим результаты измерений (расчетов) можно представить в виде следующей матрицы: вдоль строки меняются значения угла $\varphi$, вдоль столбца — значения угла $\theta$, а значения — величина радиуса $\rho$. (Можно, конечно, чтобы вдоль столбца менялись значение $\varphi$, а вдоль строки — $\theta$). В этом простейшем случае даже Mathcad легко справится с построением рисунка, если поверхность достаточно «плавная». Зная значения $\varphi$, $\theta$ и $\rho$, рассчитываются матрицы значений координат X, Y, Z. В приводимом ниже рисунке для простоты рассмотрен случай сферы. Mathcad 15.

Вложение:

mathcad.PNG

2. Более трудный случай — это когда результаты измерений (расчетов) не могут быть представлены в виде матрицы. (В самом крайнем случае значения двух координат, например углов, могут быть случайными числами. Такой вариант часто демонстрируется в примерах.) В этом случае для получения прямоугольных матриц в пакетах часто предусматривают функции выполняющие перерасчет при помощи интерполяции. В matlab (по крайней мере, в старых версиях) нужно явно воспользоваться функцией griddata. Однако во многих пакетах (например, в matlab, по крайней мере, в старых версиях) такая интерполяция работает, если поверхность является графиком функции двух независимых переменных. Если поверхность не испытывает быстрых изменений высоты, то такая интерполяция позволяет удовлетворительно построить поверхность. См. примеры использования Matlab на оф. сайте. Однако, если функция меняется быстро, то результат не очень. Пример с верхней полусферой, Octave 4.4

Используется синтаксис Matlab M

n = 50;
phi = 2*pi*rand(1, n) ;
theta = pi/2*rand(1, n);
rho = 1;
# Запись в файл коорд. точек поверхности в с.с.к. для получения рисунка в gnuplot
fid = fopen('sphere_1.txt', 'wt'); 
for i=1:n
 fprintf(fid, '%17.15f %17.15f %17.15f \n', phi(i), theta(i), rho);
end
fclose(fid); 
# Конец записи в ф. координат точек поверхности в с.с.к.
X = rho*cos(phi).*sin(theta); 
Y = rho*sin(phi).*sin(theta);
Z = rho*cos(theta);
# Запись в файл коорд. точек поверхности в п.д.с.к. для получения рисунка в gnuplot
fid = fopen('sphere_2.txt', 'wt');
for i=1:n
 fprintf(fid, '%20.15f %20.15f %20.15f \n', X(i), Y(i), Z(i)) 
end
fclose(fid);
# Конец записи в ф. коорд. точек поверхности в п.д.с.к.
[Xi,Yi] = meshgrid (linspace (-rho, rho, 100));
[Xi, Yi, Zi] = griddata(X, Y, Z, Xi, Yi);
surf(Xi, Yi, Zi);

Вложение:

griddata.PNG

gnuplot позволяет построить рисунок поверхности по данным в файле в виде таблицы или по списку точек линий. Данные для разных линий отделяются пустой строкой. Если линии не должны формировать единую поверхность, то — двумя пустыми строками. Не добавляя пустые строки, попробуем построить рисунки поверхности. Версия 5.0.0 gnuplot.

Используется синтаксис Gnuplot

# Рисунок полусферы по точкам с координатами в сферической системе;
# файл c координатами - sphere_1.txt   
set    xrange    [-1:1]
set    yrange    [-1:1]
set    zrange    [ 0:1]
set    mapping   spherical
set    hidden3d
set    terminal  png 
set    output  "sphere_1.png"
splot 'sphere_1.txt' with pm3d

Вложение:

sphere_1.png

В случае координат, заданных в п.д.с.к., использование стиля pm3d привело к предупреждению

Warning: Single isoline (scan) is not enough for a pm3d plot.
           Hint: Missing blank lines in the data file? See 'help pm3d' and FAQ.

Получить хоть какой-то рисунок получилось с with lines

Используется синтаксис Gnuplot

# Рисунок полусферы по точкам с координатами в п.д.с.к.;
# файл c координатами - sphere_2.txt   
set    xrange    [-1:1]
set    yrange    [-1:1]
set    zrange    [ 0:1]
set    hidden3d
set    terminal  png 
set    output  "sphere_2.png"
splot 'sphere_2.txt' with lines

Вложение:

sphere_2.png

В общем, с ходу у меня в gnuplot что-то не очень получилось.

Golden Software Surfer 11 с настройками по умолчанию смог построить поверхность по данным shpere_2.txt (но очень лихо экстраполировал данные).

Вложение:

sphere_SurfaceMap_GSS.png

(Surfer предназначен для получения по нерегулярным данным регулярных сеток; возможности достаточно большие.)