Демидович. Предел функции. Проверка решения.

[Ivan_B]

455.1 $\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+\sqrt{x}-1-\sqrt[3]{x}-x^{2/3}}{1-x}=\infty$ В ответах $\frac{1}{2}$
Проверьте, пожалуйста, мое решение.

[RIP]

В задании, похоже, опечатка: у второй дроби числитель должен быть $2$.

[thething]

Верно у Вас, только Вы тройки в числителе потеряли

[Ivan_B]

RIP в сообщении #1324926 писал(а):

В задании, похоже, опечатка: у второй дроби числитель должен быть $2$.

Спасибо! Получилось:
$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}-2x^{2/3}}{1-x}$

Далее использую замену $(y+1)^n=x+1$, чтобы вычислить $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y}{(1+y)^n-1}=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y}{ny+\frac{n(n-1)}{2}y^2+\dots}=\frac{1}{n}$
И замену $y=2x+x^2$, чтобы вычислить $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+2x+x^2}-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+2x+x^2}-1}{2x+x^2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x+x^2}{x}=$$\lim\limits_{y\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+y}-1}{y}\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x+x^2}{x}=\frac{2}{n}$

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}-2x^{2/3}}{1-x}=-\lim\limits_{x\to 1}\frac{3(\sqrt{x}-1)}{x-1}\frac{-2(\sqrt[3]{x}-1)}{x-1}\frac{-2(x^{2/3}-1)}{x-1}=$$-\left(3\cdot\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}$

thething в сообщении #1324928 писал(а):

Верно у Вас, только Вы тройки в числителе потеряли

Спасибо!

[thething]

Ivan_B
Можно было обойтись всего одной заменой $t=\sqrt[6]{x}$, а дальше с многочленами работать легко и приятно)

[Ivan_B]

Спасибо за подсказку!