Букашка на шнуре

[follow_the_sun]

Вы держите один конец резинового шнура длинной в 1км. От второго конца, который закреплен ползет букашка по направлению к вам со скоростью 1$\frac{\text{см}}{c}$. Каждый раз, когда букашка проползает сантиметр, вы растягиваете шнур на километр. Доползет ли букашка до вас и сколько времени эй на это понадобится?
(Зорич, 2-й том 766 стр.)
Решение:
1. СО связана с точкой закрепления. Все длины найдены относительно нее.
2. После каждого $n$-ного рястяжения, отношение длин шнура после и до равно $1+\dfrac{1}{n}$
3.Длина пути (в сантиметрах) букашки на $n$-ном шаге (очевидное обобщение случаев $n=1,2,3$):
$$\sum\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{p=i}^{n}(1+\dfrac{1}{p})$
4. Т.к. $\prod\limits_{p=i}^{n}(1+\dfrac{1}{p})=\dfrac{n+1}{i}$, то
$$\sum\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{p=i}^{n}(1+\dfrac{1}{p})=(n+1)\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}$
5.Приравняем путь букашки и длину растянутого шнура на $n$-ном шаге (в метрах):
$10^{-2}\cdot (n+1)\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}=n\cdot 10^3$
6.Преобразуем:
$(1+\dfrac{1}{n})\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}=10^5$
7. Гармонический ряд расходится, а $\forall n: 1+\dfrac{1}{n}>1$. Поэтому букашка доползет.
Находим время:
8. Т.к. $\ln n+o(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}$, то $(1+\dfrac{1}{n})\cdot (\ln n +o(n))=10^5$
9. $1+\dfrac{1}{n}=\log_{n} e^{10^5}+o(n)$. Т.к. $\dfrac{1}{n}$ и $o(n)$ - бесконечно малые функции, то букашка доползет за $e^{10^5}$ секунд.
Прпвильно ли я решил? Мне кажется, что не совсем точно.

[svv]

По первым нескольким пунктам — можно ещё так. Введём на шнуре координату: расстояние от неподвижного конца, делённое на длину шнура. Координата неподвижного конца $0$, подвижного $1$. На первом шаге координата букашки увеличится на $p=\frac{1\;\text{см}}{1\;\text{км}}$, а на $k$-м — на $\frac p k$. При растяжении шнура координата букашки не меняется.

Букашка доползёт, когда выполнится условие $\sum\limits_{k=1}^n \frac p k \geqslant 1$ .

[follow_the_sun]

svv

svv в сообщении #1321534 писал(а):

По первым нескольким пунктам — можно ещё так. Введём на шнуре координату: расстояние от неподвижного конца, делённое на длину шнура. Координата неподвижного конца $0$, подвижного $1$. Если на первом шаге координата букашки увеличится на $p=\frac{1\;\text{см}}{1\;\text{км}}$, то на $k$-м — на $\frac p k$. При растяжении шнура координата букашки не меняется.

Здорово, это короче, чем у меня. Я в сети наткнулся на ответ $e^{10^5}-1$. Как можно его получить? Попробовать оценить интеграл от $\dfrac{1}{x}$ через частичные суммы?

(Оффтоп)

Тянет ли эта задача на олимпиадную?

[svv]

Да, можно оценить частичные суммы с помощью интеграла.
Насчёт олимпиадности — проблема в том, что эта задача слишком широко известна.

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1321553 писал(а):

Тянет ли эта задача на олимпиадную?

Она встречалась в одной из книг Мартина Гарднера... в общем, пожалуй, она достаточно общеизвестна, чтобы сойти за олимпиадную.