порядок произведения элементов в группе

[beroal]

Надыбал в учебнике следующую задачу. $G$ есть группа, $g\in G$, $h\in G$.

Цитата:

(iv) If $o(g) = m$, $o(h) = n$, and $g$ and $h$ commute, then $o(gh) = \operatorname{LCM}(m, n)$; see part (vii).

Цитата:

(iv) Если $o(g) = m$, $o(h) = n$ и $g$ и $h$ коммутируют, то $o(gh) = \operatorname{LCM}(m, n)$; смотри часть (vii).

Я согласен, что $o(gh) \mid \operatorname{LCM}(m, n)$, но равенство я не смог доказать и придумал контрпример. Пусть $G$ есть группа сложения по модулю $5$, $g=1$, $h=-1$. Тогда $m = 5$, $n = 5$, $g$ и $h$ коммутируют, потому что группа коммутативная, $o(gh)=1$, $\operatorname{LCM}(m, n)=5$. Чего я не понимаю?

[Someone]

beroal в сообщении #1317854 писал(а):

Чего я не понимаю?

Вы правы, какая-то оговорка там должна быть, а без этой оговорки можно только утверждать, что порядок произведения является делителем наименьшего общего кратного порядков сомножителей (не уверен в точности этой формулировки). А что там сказано в седьмой части, на которую ссылаются в условии задачи?

[beroal]

Someone в сообщении #1317878 писал(а):

А что там сказано в седьмой части, на которую ссылаются в условии задачи?

Цитата:

(vii) Если мы опустим условие коммутативности в (iv), покажите, что $o(gh)$ может быть бесконечным. (Подсказка. Попробуйте $G=\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q})$.)

Похоже, в части (iv) автор хотел показать, что $o(gh)$ конечен.

[vego]

Наверное, порядки элементов должны быть взаимно просты.

[mihaild]

vego в сообщении #1317954 писал(а):

Наверное, порядки элементов должны быть взаимно просты.

Тогда можно и НОК заменить на произведение.