Группы с двумя классами сопряженности

[SomePupil]

Существуют ли группы, которые имеют ровно два класса сопряженности? Понятно, что подходит группа порядка 2. А что насчет более интересных групп?

Сам я сомневаюсь в их существовании. Я выяснил, например, что конечные группы порядка больше двух не удовлетворяют этому условию. Это можно сообразить, вычислив индекс централизатора любого неединичного элемента. Так что если такие группы и существуют, то они бесконечны и неабелевы. Экзотичные, одним словом.

[Munin]

SomePupil в сообщении #1316797 писал(а):

Так что если такие группы и существуют, то они бесконечны и неабелевы. Экзотичные, одним словом.

Бесконечные и неабелевы - это вовсе не экзотические.

[arseniiv]

Угу, свободная группа, порождённая более чем одним элементом, и бесконечна, и неабелева.

[Otta]

SomePupil в сообщении #1316797 писал(а):

Понятно, что подходит группа порядка 2.

Объясните, пожалуйста, почему она подходит. Я че-то торможу, видать.

[SomePupil]

Otta в сообщении #1316809 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему она подходит.

Группа $\{e, a\}$ с однозначно определенной операцией. Один класс сопряженности состоит только из единичного элемента, а другой $-$ только из $a,$ потому что $eae = a$ и $aaa = a.$

[Otta]

Вы напоследок забыли элемент обратным взять. Спасибо, торможу, да :)

[g______d]

https://math.stackexchange.com/question ... cy-classes