Уравнение теплопроводности с отрицательным временем

[novichok2018]

Рассмотрим простейшее уравнение теплопроводности с отрицательным временем

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \ \ t\in(-\infty,0), \ \ x\in R^n. $$

Верна ли для этого уравнения теорема типа Лиувилля (которая для уравнения Лапласа или гармонических функций)? То есть,

Вопрос: Верно ли, что все ограниченные в полупространстве решения этого уравнения являются постоянными?

Подзадача/подвопрос: добавить к уравнению начальное условие в нуле --- ограниченную функцию $g(x)$. Вопрос тот же.

Кажется, что ответ отрицателен, тогда нужен явный контрпример, построить его не получается пока.

[thething]

Данная задача является некорректной (это разновидность задачи с обратным временем или ретроспективной обратной задачи). Легко видеть из постановки, что постоянная функция является её ограниченным решением. Насчёт единственности далее скажу, в какую сторону можно думать, и только за

novichok2018 в сообщении #1316696 писал(а):

Подзадача/подвопрос: добавить к уравнению начальное условие в нуле --- ограниченную функцию $g(x)$. Вопрос тот же.

Выполняя замену $t\to -t$, применяя преобразование Фурье по пространственной переменной и решая полученную при этом обыкновенную задачу Коши, находим образ решения $\hat{u}(\xi,t)=\hat{g}(\xi)e^{\left\lvert \xi\right\rvert^2t}$, что эквивалентно задаче вычисления значений неограниченного оператора (это обосновывает некорректность (неустойчивость) задачи). При этом, в силу изометричности преобразования Фурье, если $\left\lVert \hat{u}(\xi,t)\right\rVert=+\infty$, то и для оригинала получим, что $\left\lVert u(x,t)\right\rVert=+\infty$, т.е. только неограниченное решение (в соответствующих нормах). Заметим, что таких функций $g(x)$, дающих неограниченное решение задачи -- "большинство". Однако, не исключено, что при каком-то $g(x)$ образ $\hat{g}(\xi)$ "перебьёт" ту экспоненту и даст ограниченное решение. Можете попробовать поискать такой пример.

[novichok2018]

Нужна не корректность/некорректность, про которую всё известно, а именно аналог теоремы Лиувилля: если решение ограничено, то это постоянная. Непонятно, есть ли вообще теоремы такого типа для несложных нестационарных уравнений - вот в чём хочется разобраться. Хотя бы на примере уравнения теплопроводности.

[thething]

novichok2018 в сообщении #1316924 писал(а):

Непонятно, есть ли вообще теоремы такого типа для несложных нестационарных уравнений

По всей видимости -- нет. Для прямой задачи ограниченным решением является интеграл Пуассона, для обратной я выше предложил, в какую сторону можно поискать контрпример. По крайней мере образ $\hat{g}(\xi)$, дающий ограниченное решение, можно попробовать найти (пусть это будет, например, достаточно быстро убывающая экспонента). Оригинал решения, в силу изометричности, также будет ограничен. Ну а сам оригинал для $\hat{g}(\xi)$ можно найти хотя бы численно.

Но я не удивлюсь, если такого контрпримера не найдётся вообще, как раз ввиду некорректности поставленной задачи, и тогда любое непостоянное решение будет вообще неограниченным.

Добавлю, что где-то в литературе или других источниках по уравнениям матфизики/некорректным задачам, мне данный факт не встречался, что, конечно же, не означает, что он не известен.

[novichok2018]

Мне тоже не встречался. А вот термин "уравнения лиувиллевского типа" для нестационарных уравнений широко распространился. Хочу понять, насколько он обоснован для этого случая, а заодно разобраться в результатах для простейших уравнений, для которых всё интересно.

[Vince Diesel]

Гугл выдает много ссылок по запросу liuville theorem heat equation. Например, вот эту статью Liouville's theorem for parabolic equations of the second order with constant coefficients, где доказывается, что ответ на ваш вопрос положительный.

[novichok2018]

Vince Diesel - спасибо за полезную для меня ссылку. Некоторое непонимание осталось. Действительно, все теоремы в этой работе касаются решений с дополнительным свойством неотрицательности. Следствие к последней теореме этого не требует, хотя формально это следствие к теореме с таким условием. Но это всё-таки Фридман, так что наверное, всё правильно, к ограниченному снизу решению можно добавить постоянную и сделать его неотрицательным. Ещё раз спасибо Вам.