Линейный оператор

[alexrr]

Здравствуйте!
Мне задан линейный оператор $q$: ортогональное проектирование на плоскость $x-y+z=0$. Хочу найти матрицу оператора в базисе $i, j, k$ и найти ядро с образом
Не уверен в правильности решения.
Нашел вектор $n=(1,-1,1)$, который перпендикулярен плоскости $x-y+z=0$. По формуле $q(i)=i-\frac{(i,n)n}{\left\lvert x^2 \right\rvert}=i-n/3$. а $n=i-j+k$. выходит $q(i)=\{\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{-1}{3}\}$.

$q(j)=j+\frac{n}{3}, q(j)=\{\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\}$

$q(k)=k-\frac{n}{3}, q(k)=\{\frac{-1}{3},\frac{1}{3}, \frac{-1}{3}\}$

Вот на этом этапе верно ли?
Ядро получилось описать таким соотношением

$$\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$$

[thething]

alexrr в сообщении #1315030 писал(а):

Вот на этом этапе верно ли?

Последние два пересчитайте.

alexrr в сообщении #1315030 писал(а):

Ядро получилось описать таким соотношением

Сперва опишите действие оператора на произвольный вектор и покажите, как это ядро считали.

[alexrr]

thething в сообщении #1315044 писал(а):

alexrr в сообщении #1315030 писал(а):

Вот на этом этапе верно ли?

Последние два пересчитайте.

alexrr в сообщении #1315030 писал(а):

Ядро получилось описать таким соотношением

Сперва опишите действие оператора на произвольный вектор и покажите, как это ядро считали.

Нашел ошибку
$q(j)=\{\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\}$
$q(j)=\{\frac{-1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\}$
Ядро получилось так, что надо найти матрицу оператора, умноженную на столбец

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

и приравнять к нулю.
Тогда получилось, что $x=-y , -y=z$
Вот, как найти образ, зная матрицу, не понял

[thething]

Теперь третье неправильно)

-- 26.05.2018, 18:33 --

Образ оператора -- по определению -- это что?

[SomePupil]

alexrr в сообщении #1315121 писал(а):

Вот, как найти образ, зная матрицу, не понял

Образ тесно связан со столбцами матрицы...

[alexrr]

Вот так тогда: $q(k)=\{\frac{-1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\}$
Из определения выходит, что надо решить $Ax=y$, где $A$-матрица оператора? Но получается слишком много неизвестных..

[thething]

alexrr в сообщении #1315129 писал(а):

Из определения выходит, что надо решить $Ax=y$

Решать не надо, надо просто выписать, чему равен игрек, используя столбцы матрицы $A$

[alexrr]

thething в сообщении #1315130 писал(а):

alexrr в сообщении #1315129 писал(а):

Из определения выходит, что надо решить $Ax=y$

Решать не надо, надо просто выписать, чему равен игрек

То есть образ оператора задается так?
$y_1=\frac{1}{3}(2x_1+x_2-x_3)$
$y_2=\frac{1}{3}(x_1+2x_2+x_3)$
$y_3=\frac{1}{3}(-x_1+x_2+2x_3)$

[thething]

Задайте это одним равенством.. Обычно так принято (см. моё предыдущее сообщение, я там добавил)

[alexrr]

thething в сообщении #1315134 писал(а):

Задайте это одним равенством.. Обычно так принято (см. моё предыдущее сообщение, я там добавил)

Что-то не очень понял, как одним равенством... Через просто матрицу $A$ знаю, а как через столбцы не очень понятно

[thething]

Первый столбец на $x_1$ плюс второй столбец на $x_2$...

[provincialka]

Хм... мне казалось, что для оператора

alexrr в сообщении #1315030 писал(а):

ортогональное проектирование на плоскость $x-y+z=0$.

образом будет сама эта плоскость, а ядром -- ортогональная к ней прямая. Или чего-то не понимаю?

[Otta]

Да нет, все Вы понимаете, но хочется же подольше...

[provincialka]

Ой! Извините, что нарушила... куртуазность поведения. Вперлась со своей сермяжной истиной... Она же посконная, домотканая и кондовая...

[thething]

provincialka
Ну, не успели пока что дойти до самого интересного) Вот после слов ТС

alexrr в сообщении #1315121 писал(а):

Вот, как найти образ, зная матрицу, не понял

я подумал, что не стОит сразу раскрывать все волнующие подробности, а пусть уж лучше в общем виде поймет.