Логарифмическое неравенство

[Splush]

$\log_{x}{(\sqrt{x^2+2x-3}+2)}\log_{5}{(x^2+2x-2)}\geqslant\log_{x}{4}$


ОДЗ: x > 1.
$\\ x^2+2x-3 = t; \\ x^2+2x-(t+3) = 0; \\ x = \pm\sqrt{t +4}-1.$

Учитывая ОДЗ,
$\\\log_{\sqrt{t +4}-1}{(\sqrt{t}+2)}\log_{5}{(t+1)}\geqslant\log_{\sqrt{t +4}-1}{4};\\ \frac{\log_{2}{(\sqrt{t}+2)}\log_{2}{(t+1)}}{\log_{2}{(\sqrt{t +4}-1)}\log_{2}{5}}\geqslant\frac{\log_{2}{4}}{\log_{2}{(\sqrt{t+4}-1)}};\\ \frac{\log_{2}{(\sqrt{t}+2)}\log_{2}{(t+1)}-\log_{2}{4}\log_{2}{5}}{\log_{2}{(\sqrt{t +4}-1)}\log_{2}{5}}\geqslant0.$

Проблем со знаменателем не возникает, но что делать с числителем?
$\log_{2}{(\sqrt{t}+2)}\log_{2}{(t+1)}\geqslant\log_{2}{4}\log_{2}{5}$
Очевидно, что $t\geqslant4 $, но как до этого дойти, не используя подбор или метод оценки?

[ShMaxG]

Splush в сообщении #1314196 писал(а):

Очевидно, что $t\geqslant4 $, но как до этого дойти, не используя подбор или метод оценки?

Ну тут стандартно. Первое -- исследуете свойства функции слева. Второе -- подбираете значение аргумента, чтобы здесь было равенство. Готово. Многие школьные задачи так решаются и ничего страшного в этом нет.

[Splush]

ShMaxG в сообщении #1314199 писал(а):

Второе -- подбираете значение аргумента, чтобы здесь было равенство. Готово.

То есть без подбора тут все же никак не обойтись?

[gris]

Попробуйте разделить левую часть на правую, перейти к основаниям $4$ и $5$. Рассмотрите произведение двух логарифмов. Если они оба не меньше единицы, то и произведение не меньше единицы. А вот что будет при $t<4$?
В общем это изоморфно уже данному совету поанализировать левую часть, но, может быть, так легче разъяснить четвёрку

[Splush]

gris в сообщении #1314350 писал(а):

В общем это изоморфно уже данному совету поанализировать левую часть, но, может быть, так легче разъяснить четвёрку

Да, так, действительно, легче, но все равно нужен перебор, а он, по-моему, не очень убедительно выглядит.
Может ли быть так, что само уравнение нужно не заменой решать, а как-то иначе?

[gris]

Можно и без замены.
$\log_{x}{(\sqrt{x^2+2x-3}+2)}\log_{5}{(x^2+2x-2)}\geqslant\log_{x}{4}$
ОДЗ: $x > 1$. После деления на правую часть и перехода к основанию $4$ получим
$\log_{4}{(\sqrt{x^2+2x-3}+2)}\cdot\log_{5}{(x^2+2x-2)}\geqslant 1$
Смотрим, когда каждый логарифм обращается в единицу. Получаем $x_1$ и $x_2$. Смотрим на эти числа и сравниваем. Смотрим на вершины парабол из уравнения. Видим, что на ОДЗ подлогарифменные выражения, а значит и сами логарифмы, ведут себя монотонно. Ну и делаем выводы. Надо только обосновать каждый шаг.
Конечно, в этой задаче специально подобраны хорошие параметры. Ну так составители не звери же.