Определитель матрицы

[nerviwki]

Всем привет! Помогите пожалуйста вычислить определитель матрицы вида:
$ \left( \begin{array}{cccc} a_{1} + x & x & .. & x \\ x & a_{2} + x & .. & x \\ .. & .. & .. & .. \\ x & x & .. & a_{n} + x \end{array} \right) $

[iifat]

Ну, можно попробовать разложить по первому столбцу в сумму матриц. Или по последнему.

[thething]

Может, вычесть из первой строки вторую, а потом разложить по первой строке. Тогда получится две матрицы. С первой можно сделать то же самое, а у второй первая строка и первый столбец будут содержать только иксы... Попробовать опять вычитать из первой строки вторую.

UPD. Да, так и работает, можно доказать по индукции.

[nerviwki]

iifat в сообщении #1314081 писал(а):

Ну, можно попробовать разложить по первому столбцу в сумму матриц. Или по последнему.

Понятно, что можно, но у этой задачи получается нормальный ответ, например для определителя матрицы 3х3 получим: $a_{1}a_{2}a_{3} + (a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{2}a_{3})x$
для матрицы 4х4 получим:$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} + (a_{1}a_{2}a_{3} + a_{1}a_{2}a_{4} + a_{2}a_{3}a_{4} + a_{1}a_{3}a_{4})x$
ну и так далее, думаю закономерность ясна.
Более менее мне это понятно, поскольку произведения вида: $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n-1}x$ уникальны если исходить из разложения определителя через перестановки и им не с кем сократиться. Поэтому они остаются, также и с $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n-1}a_{n}$. Но я пока не могу четко для себя понять, что все остальные члены будут сокращаться.

[iifat]

nerviwki в сообщении #1314086 писал(а):

можно, но у этой задачи получается нормальный ответ

Ради бога, но при чём здесь «но»? Что, моим методом непременно должен получиться ненормальный? Как хотите, впрочем.

[nerviwki]

iifat в сообщении #1314104 писал(а):

nerviwki в сообщении #1314086 писал(а):

можно, но у этой задачи получается нормальный ответ

Ради бога, но при чём здесь «но»? Что, моим методом непременно должен получиться ненормальный? Как хотите, впрочем.

Я не это имел ввиду, просто раскрывая определитель таким образом я не могу упростить его до ответа, если вы можете, то напишите в явном виде как это получается

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.