Вписать эллипс в параллелограмм

[SpBerkut]

Добрый день.

Поставил я себе грандиозную задачу — изобразить проекцию квадрата с вписанной окружностью на произвольную плоскость. Квадрат проецируется достаточно просто и в общем виде он принимает вид параллелограмма. Окружность же преобразуется в эллипс, центр которого лежит на пересечении диагоналей параллелограмма, стороны параллелограмма касаются эллипса и в точках касания делятся пополам.

С помощью элементарных преобразований я могу вычислить координаты точек окружности на получившейся проекции, но при отрисовке возникает некоторая угловатость. Помогите советом, как вычислить координаты фокусов получившегося эллипса или размеры и угол поворота полуосей, чтобы я мог отрисовать получившийся эллипс, опираясь на эти данные, а не разбивая окружность на громадное количество отрезков.

[iifat]

Самый, пожалуй, тупой вариант — помнится, кривая второго порядка однозначно определяется по пяти точкам.

-- 18.05.2018, 01:24 --

Второй, пожалуй, чуть поумнее: как понимаю, параллельная проекция, да? Как проходит большая ось эллипса? Как малая? И чему, стало быть, равно отношение их длин?

[alisa-lebovski]

Когда я была маленькой, у нас в школе было черчение. И как раз возникала такая проблема. Вместо эллипса нас учили рисовать овал, т.е. кривую, сшитую из четырех дуг разных окружностей, с общими касательными в точках соединения, так что на глаз это практически не отличалось от эллипса.

[arseniiv]

Боюсь, овал в таком случае плохой совет (кроме того, это приближение тем хуже, чем дальше эллипс от окружности, а тут ограничений не поставлено, так что стоит предполагать, что в половине случаев эллипс будет неудобный). Современные средства рисования обычно хорошо справляются с рисованием дуг произвольно повёрнутых эллипсов, чем лучше пользоваться.

[VAL]

SpBerkut,
Вам поможет преобразование родства (это аффинное преобразование с точечно-двойной прямой). Гуглите.

[Null]

Ну раз проекция квадрата параллелограмм, то эта проекция - аффинное преобразование.

[SpBerkut]

iifat

Цитата:

Самый, пожалуй, тупой вариант — помнится, кривая второго порядка однозначно определяется по пяти точкам.

Это так. Думал про это. Оставил на самый крайний случай, т.к. делаю всё в AutoLISP'е и там со СЛАУ туго. Придётся всё с нуля выдумывать.

Цитата:

Второй, пожалуй, чуть поумнее: как понимаю, параллельная проекция, да? Как проходит большая ось эллипса? Как малая? И чему, стало быть, равно отношение их длин?

Проекция параллельная, да. Если получится каким-то образом малой кровью найти расположение осей эллипса, то будет превосходно.

alisa-lebovski

Цитата:

Вместо эллипса нас учили рисовать овал, т.е. кривую, сшитую из четырех дуг разных окружностей

Не подходит. Во-первых, мне всё же нужен именно эллипс. Во-вторых, если я всё верно помню, овал этим способом можно вписать только в ромб, а не в произвольный параллелограмм.

[Sinoid]

SpBerkut в сообщении #1313148 писал(а):

Проекция параллельная, да.

Так. на всякий случай. Плоскость проекции можно считать проходящей через центр квадрата (окружности).

-- 18.05.2018, 13:09 --

Вообще, ИМХО, проектируемую окружность проще считать расположенной в плоскости $xOy$: там, параметрическое уравнение окружности можно взять, так координаты поврозь можно подставлять, куда нужно...

[TOTAL]

Через вершину параллелограмма проведите прямую. Из двух соседних вершин параллелограмма опустите на эту прямую перпендикуляры. Если площади двух получившихся прямоугольных треугольников равны, то проведенная прямая задает направление оси вписанного эллипса.

[SpBerkut]

Всем спасибо за помощь. В итоге сделал всё через матрицу коэффициентов уравнения в общем виде. Не хотел я за матрицы браться, а пришлось.

[iifat]

(Оффтоп)

SpBerkut в сообщении #1313213 писал(а):

Не хотел я за матрицы браться, а пришлось

Вы брались за матрицы? И потом теми же руками на форум пишете? Хотя бы вымыли?

[TOTAL]

$AB$ - сторона параллелограмма
$Q$ - его центр
$P$ - середина $AB$
$S$ - симметрична $Q$ отностительно $AB$
$R$ - на прямой $SP$ и на окружности $ASB$
Тогда биссектриса угла $PQR$ - ось вписанного эллипса