Зорич. База.

[Ivan_B]

стр 149
Определение 11. Совокупность $\mathcal{B}$ подмножеств $B \subset X$ множества $X$ будем называть базой в множестве $X$, если выполнены дваусловия:
1) $\forall B \in \mathcal{B}\>(B\neq \varnothing)$
2) $\forall B_1\in\mathcal{B}\>\forall B_2 \in \mathcal{B}\>\exists B \in \mathcal{B} \> (B \subset B_1 \cap B_2)$

Хотел бы уточнить: $\{\{1\}\}$ база в $\mathbb R$ ?

[Otta]

Ну так проверяйте же условия.

[Ivan_B]

Проверил. Выполняются: $\{1\}\neq\varnothing$, $\{1\}\subset\{1\}\cap\{1\}$

[Otta]

Ну вот. И вывод?

[Ivan_B]

Вывод: является базой. Я поэтому и спрашиваю. Не похожа она на базы из примеров. Может там опечатка какая-нибудь.
Может $B$ из 2 должно быть собственным подмножеством пересеченния $B_1 \cap B_2$. Мало ли...

[Otta]

Ну мало ли чего не похоже. Вывод правильный.

[Ivan_B]

Спасибо за Ваши ответы!

[Otta]

Пожалуйста. Триста лет тому назад мне похожая задача на экзамене попалась. Проверить, является ли базой множество, состоящее из единственного отрезка $[0,1]$, если является, записать определение предела функции по этой базе и описать класс функций, его имеющих. Можете поразвлекаться на досуге.

[Ivan_B]

Предел $\forall V(A) f([0;1]) \subset V(A)$
Функции, которые определены и постоянны на $[0;1]$ имеют предел по этой базе.
Если некоторая функция принимает более одного значенния на $[0;1]$, то можно подобрать $V(A)$, которой как минимум одно из значений не принадлежит. Значит других функций, которые имеют предел по данной базе не существует.

[Otta]

Угу.

[Ivan_B]

Спасибо, интересная задача!

[Someone]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1311143 писал(а):

Проверить, является ли базой множество, состоящее из единственного отрезка $[0,1]$, если является, записать определение предела функции по этой базе и описать класс функций, его имеющих.

Нам И. А. Вайнштейн тоже эту задачу предлагал. Только не на экзамене, а на лекции.

[Otta]

(Оффтоп)

Ну, это не в качестве основного вопроса, это так было, из преподского любопытства.