Предел функции

[fara]

Здравствуйте. Правильно ли я решил предел? Если нет, укажите на ошибки или подскажите другой путь решения.

$$\lim\limits_{x\to 3} \[1+\ln(3x^2 - 19x + 31)]^{6(\ln(e -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}) -1)^{-1}}$$

Имеем неопределенность вида $[1^\infty]$
Выполняем замену $y=x-3$
Тогда $x=y+3$ при ${y\to 0}$

$$\lim\limits_{y\to 0} \ [1+\ln(3y^2 + 18y + 27 - 19y - 57 + 31)]^\frac{6}{\ln(e -\frac{3}{4}y - \frac{3}{4} + \frac{3}{4})-1}$$

$$\lim\limits_{y\to 0} \ 1+\ln(1 + 3y^2 - y)^\frac{6}{\ln(e -\frac{3}{4}y)-1}$$

Воспользуемся эквивалентно малыми для логарифма
$$\ln(1+x)\sim x$ при ${x\to 0}$$
Таким образом при ${y\to 0}$ имеем эквивалентности:

$$1+\ln(1 + 3y^2 - y) \sim 3y^2 - y$$

$$\ln(e -\frac{3}{4}y)-1 = \ln[e(1 -\frac{3y}{4e})]-1=\lne + \ln(1 -\frac{3y}{4e}) - 1 \sim -\frac{3y}{4e}$$

Заменяем в пределе функции эквивалентыми

$$\lim\limits_{y\to 0} 1+\ln(1 + 3y^2- y)^\frac{6}{\ln(e -\frac{3}{4}y)-1}=\lim\limits_{y\to 0} \ (1 + 3y^2 - y)^ {- \frac{8e}{y}}=\lim\limits_{y\to 0} e^{\ln(1 + 3y^2 - y)^ {- \frac{8e}{y}}}=e^{-8e\lim\limits_{y\to 0}\frac {\ln(1 + 3y^2 - y)}{y}}$$

$$\lim\limits_{y\to 0}\frac {\ln(1 + 3y^2 - y)}{y} = \lim\limits_{y\to 0}\frac {3y^2 - y}{y} = \lim\limits_{y\to 0}\ (3y - 1) = -1$$

$$\lim\limits_{y\to 0}\ (1+3y^2 - y) ^\frac{-8e}{y} = e^{-8e\cdot(-1)} = e^{8e}$$

[thething]

fara в сообщении #1308546 писал(а):

$$1+\ln(1 + 3y^2 - y) \sim 3y^2 - y$$

Это как?

fara в сообщении #1308546 писал(а):

$$\ln(e -\frac{3}{4}y)-1 = \ln[e(1 -\frac{3y}{4e})]-1=\lne + \ln(1 -\frac{3y}{4e}) - 1 \sim -\frac{3y}{4e}$$

Аналогичный вопрос.
Вообще, в суммах эквивалентности использовать нельзя. Эквивалентности можно использовать в произведении и в частном. В суммах же надо использовать разложение по формуле Тейлора

-- 29.04.2018, 14:50 --

Вообще, решение нормальное, если уберете недочеты, типа в степени надо единицу сократить, а в скобках применить формулу Тейлора

[fara]

А можно решить как-то без Тейлора?

"Вообще, решение нормальное, если уберете недочеты, типа в степени надо единицу сократить, а в скобках применить формулу Тейлора"

[Lia]

fara
Скобки расставляйте, когда они были или должны быть. Пожалуйста.

[thething]

fara в сообщении #1308554 писал(а):

А можно решить как-то без Тейлора?

А чем Вам Тейлор не угодил? Это будет почти та же эквивалентность, только допишете еще $o$-малое, а потом отбросите. Но зато будет правильно и преподаватель не придерется.

-- 29.04.2018, 15:16 --

Я имею ввиду, напишите, что $1+\ln (1+3y^2-y)=1-y+o(y)$. Ну а как так получилось -- выведите сами

[provincialka]

Для такой неопределенности есть же формула $\lim\limits_{t\to a}f(t)^{g(t)}=e^A$, где $A=\lim\limits_{t\to a}(f(t)-1)g(t)$
И Тейлор не понадобится!

-- 29.04.2018, 13:18 --

Lia в сообщении #1308555 писал(а):

Скобки расставляйте

Там кое-где лишний " \ " перед открывающей квадратной скобкой.

[Lia]

fara в сообщении #1308554 писал(а):

А можно решить как-то без Тейлора?

Можно. Эквивалентностей тут достаточно, просто использовать их надо аккуратно.

У Вас время редактирования кончилось, скобки расставлять в Карантине будете. Заодно, может, и еще что поправите.
Но Тейлором - надежнее :)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.