2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 02:22 


21/12/16
73
Нужно решить дифференциальное уравнение в частных производных при дополнительных условиях:
$$(z-x)^2{\partial z\over \partial y} + yz {\partial z\over \partial x} = xy$$
Составим систему: $${dy \over (z-x)^2} = {dx \over yz} = {dz \over xy}$$
Рассмотрев второе и третье получим: $$x^2-z^2=C_1$$
"Вычтя" из второго третье и приравняв к первому уравнению, получим:
$${dy\over (z-x)^2} = {d(x-z) \over y(z-x)}$$
Сократив на одну скобочку в знаменателе, перемножим крест накрест и вынесем из $(z-x)$ минус. Тогда получим:
$$ydy = -(x-z)d(x-z) \Rightarrow$$
$$y^2 + (z-x)^2 = C_2$$
Теперь используя доп. условия получим, что $C_2 = 25$, а $$C_1 = x^2 - x^2 -6x - 9 = -6x - 9$$
То есть не получается "связать" произвольные коэффиценты, чтобы потом вместо них подставить то, что получилось или я не могу понять как это лучше сделать.

-- 25.04.2018, 03:57 --

Дополнительные условия: $z=x+3$ при $y=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 04:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Так а Вы разве не решили уже задачу, если можно написать $y^2+(z-x)^2=25$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:31 


21/12/16
73
thething
Дополнительному условию конечно удовлетворяет, но как проверить что исходное уравнение обращается в тождество? Я пробовал и у меня не получилось. Да и зачем тогда нужна вторая константа? Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:36 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):
Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

В смысле: Вы спрашиваете, как решить квадратное уравнение????
И, кстати, при его решении - таки лшний корень надо отбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
ioleg19029700
Можно продифференцировать, как неявную функцию выражение
thething в сообщении #1307134 писал(а):
$y^2+(z-x)^2=25$?

Все подставляется и получается тождество. Просто часто выразить Вы ничего не сможете, от слова совсем. Хотя в данном случае и можно.

-- 25.04.2018, 14:41 --

ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):
Да и зачем тогда нужна вторая константа?

Вторая константа должна участвовать в общем решении. Хотите -- можете ее найти, подставив правильные $x,z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Общее решение будет иметь вид $C_2 =\phi(C_1)$ (т.е. $y^2+(z-x)^2=\phi (x^2-z^2)$) с произвольной функцией $\phi$, которая в данном случае будет тождественно $25$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:20 


11/07/16
10/11/24
825
Red_Herring
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$.
Нет бога кроме Мейпла, и Markiyan Hirnyk пророк его! То ли бог фальшивый, то ли пророк лукавый

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

А зачем полу-устную задачу решать в пакетах? И тем более в ответе нет ничего "заковыристого", ни в общем решении, ни в частном..

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Следует помнить, что $C_1$ и $C_2$ не константы "вообще", а только вдоль траекторий динамической системы. Поскольку таких пар констант можно выбрать бесконечно много, то различных по виду, но совпадающих при соответствующей замене $\phi$, общих решений можно написать очень много. Это, кстати, довольно часто наблюдается у старательных, но не самых умных студентов--найдя два таких решения, устроить "холивор", не понимая, что их ответы "изоморфны".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 21:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Markiyan Hirnyk, бан на 2 месяца за систематическое невыполнение требований модератора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group