Исследовать на сходимость ряды

[Key27]

Три однотипных ряда. Хочется узнать, правильно ли я сделал.

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{-1}{2n^2}}-\cos(\frac{1}{n}))$
$\cos(\frac{1}{n}) \sim1-\frac{1}{2n^2}$ и при $n\to\infty$ предел равен 1
$e^{\frac{-1}{2n^2}}\sim \frac{-1}{2n^2}+1$ при $n\to\infty$ предел равен 1
Тогда предел суммы = 0 и ряд сходится

2)$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (e^{\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}}-1)\sim\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}-1+1$
Предел = 0 и ряд сходится

3)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n})^a \sim (\frac{1}{n}+1-1-\frac{1}{n})^a=0^a$ ряд сходится

[Brukvalub]

Неправильно. Вы не знаете элементарных основ!

[thething]

Хоть как-то согласиться можно с пунктом 2, если Вы выкинете из него эти непонятно откуда взявшиеся единицы и примените какой-нибудь нормальный признак сравнения

-- 22.04.2018, 13:32 --

В пункте 1 надо вычесть единицу и прибавить единицу в общем члене ряда и разбить на два сходящихся ряда. Сходимость обосновать по тому же предельному признаку сравнения, с использованием эквивалентностей.

[Key27]

thething Так?

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{-1}{2n^2}}-\cos(\frac{1}{n})+1-1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{-1}{2n^2}}-1)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-\cos(\frac{1}{n}))\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{-1}{2n^2})+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})$
Первый член суммы сходится к $-1$, а второй к $1$, тогда вся сумма сходится к $0$

2)$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (e^{\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}}-1)\sim\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}$$ можно сравнить с гармоническим рядом (и он сходится)

3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n})^a \sim (\frac{1}{n}-\frac{1}{n})^a=0^a$ Сходится

[bot]

Всюду ерунда. Вы волнительный символ $\sim$ вообще никак не понимаете?

[thething]

Key27
Во-первых, почитайте все-таки признаки сравнения.
Во-вторых, есть эквивалентость $1-\cos x\sim $? При $x\to 0$
В третьем примере надо раскладывать по формуле Тейлора экспоненту. При этом учтите, что, если $f=g+o(g)$, то $f\sim g$
Но первичное -- это все-таки внятная формулировка признаков!

-- 22.04.2018, 15:42 --

Вот во втором свое рассуждении уберите знак суммы и тогда будет правильно. И также рассуждайте в остальных случаях.

[Key27]

thething
Хорошо. Попробую тогда разобраться с первым для начала.

thething в сообщении #1306351 писал(а):

Во-вторых, есть эквивалентость $1-\cos x\sim $? При $x\to 0$

В таблице эквивалентных бесконечно малых она есть

Key27 в сообщении #1306346 писал(а):

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{-1}{2n^2}}-\cos(\frac{1}{n})+1-1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{-1}{2n^2}}-1)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-\cos(\frac{1}{n}))\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{-1}{2n^2})+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})$
Первый член суммы сходится к $-1$, а второй к $1$, тогда вся сумма сходится к $0$

Ряд сходится, но только потому, что он представляет собой сумму двух сходящихся рядов

[thething]

Key27 в сообщении #1306381 писал(а):

Ряд сходится, но только потому, что он представляет собой сумму двух сходящихся рядов

Не поспоришь. Осталось доказать, что эти ряды сходятся. Вы упорно не желаете вспоминать признаки сравнения? В таком случае, Вам никто здесь не поможет. Особенное внимание при применении признаков надо обратить на то, что там сказано про знаки членов сравниваемых рядов.

[Key27]

thething в сообщении #1306387 писал(а):

Не поспоришь. Осталось доказать, что эти ряды сходятся. Вы упорно не желаете вспоминать признаки сравнения?

Если честно, то я не особо хорошо понимаю о чем Вы.
Там же очевидно, что: $\forall n>1 : \left\lvert a_n \right\rvert > \left\lvert a_{n+1} \right\rvert$
То есть, что у $\frac{-1}{2n^2}$, что у $\frac{1}{n}$ есть пределы при $n\to\infty$
И при этом сумма (разность) двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

[bot]

Key27 в сообщении #1306418 писал(а):

Там же очевидно, что: $\forall n>1 : \left\lvert a_n \right\rvert > \left\lvert a_{n+1} \right\rvert$

Вы что же на одну доску ставите $\sum\frac1{n^2}$ и $\sum\frac1{n}\,? $
Монотонное стремление к нулю есть у членов любого из этих рядов, однако первый сходится, а второй расходится.

[Lia]

Key27
Выберите наиболее подходящий свой пост и приведите формулировки всех используемых признаков, используемые эквивалентности и все остальное, что пригодится.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.