2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 19:36 


11/07/16
801
IrinaZub
Цитата:
Поэтому и стала думать, может, есть какой-то другой способ вычислить $\exp(A)$?

Да, есть и другие методы нахождения матричных функций (см. Вики). В компьютерных системах для этого используются собственные числа матрицы. В любом случае, требуются громоздкие выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Markiyan Hirnyk в сообщении #1304463 писал(а):
Их характеристические многочлены разные.
А я разве утверждал, что одинаковые? Но из характеристического многочлена одной тривиально получается характеристический многочлен другой
IrinaZub в сообщении #1304479 писал(а):
Да, в формуле для характеристического многочлена матрицы $A$ нужно заменить $c$ на $b$.

И проверить знаки. И я вам дал линк который выдает результат...

(Оффтоп)

Вообще удивительно... у меня бесплатная вольфрамальфа за 10 секунд считает, у других коммерческие "Математика не работает", "Мэпл виснет". Нет, у меня есть последняя Mathematica, но зачем для ерунды запускать

Если хочется проверить ответ, который на линке, обозначьте его через $U(t)$, и проверьте:
1) $U(t)U(s)=U(t+s)$;
2) $U'(0)=A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 21:18 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Red_Herring
Она у вас её поэлементно экспоненцирует.

-- 15.04.2018, 22:23 --

А по-нормальному не получается: https://www.wolframalpha.com/input/?i=MatrixExp%5B(%7B%7B0,1,0,0%7D,%7B1,0,0,a%7D,%7B0,0,0,-b%7D,%7B0,-a,b,0%7D%7Dt)%5D.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Slav-27 в сообщении #1304518 писал(а):
Она у вас её поэлементно экспоненцирует.

Да, действительно. :facepalm: Ну в квадрат то нормально возвела. Отсюда и плясать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 06:09 


15/12/15
48
Red_Herring
Пересчитала характеристический многочлен. Вы правы, надо изменить знак перед $\lambda^2$. Спасибо. :-)

Нашла $A^2$. Получилось
$$A^2=t^2\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & a  \\
0 & 1-a^2 & ab & 0 \\
0 &  ab & -b^2 & 0 \\
-a & 0  & 0  & -a^2-b^2
\end{array}\right).$$

Не пойму, что вы имели в виду под словами "Отсюда и плясать надо". Если обозначить $B=A^2$, то матрица $B$ является корнем уравнения второй степени
$$B^2+Bt^2(a^2+b^2-1)-b^2t^4E=0,$$
и, возможно, вычислить $\exp(B)$ проще, чем $\exp(A)$. Но как, зная $\exp(B)$, получить $\exp(A)$?

-- 16.04.2018, 07:02 --

Вообще говоря, мне нужен только первый столбец матрицы $\exp(A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 07:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Нет, конечно, надо не искать $\exp (Bt)$, но вот искать $A^n$ будет несколько проще. И проще выделить $t$ в качестве множителя.
IrinaZub в сообщении #1304620 писал(а):
Вообще говоря, мне нужен только первый столбец матрицы
Вряд ли упростит задачу

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 08:29 


11/07/16
801
IrinaZub Если вы переспросите это в форуме "Околонаучный софт", то приведу решение, сделанное Математикой или Мэйплом. Ответ Математики также громоздкий, но несколько проще, чем результат Мэйпла. Повторяю, что для нахождения экспоненты квадратной матрицы применяются алгоритмы, указанные в цитируемой мною выше статье Вики. Их реализация необходимо требует больших выкладок и в подавляющем большинстве случаев вручную невозможна или крайне трудоемка.
________________
 i  GAA:
Уважаемые участники, пожалуйста, не провоцируйте создание нескольких веток на одну тему. Это, помимо беспорядка на форуме, порождает жалобы участников и усложняет работу модераторов. Если есть чем поделиться именно с конкретным участником, то отправьте ему результаты при помощи ЛС.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить экспоненту от матрицы
Сообщение16.04.2018, 09:01 


11/07/16
801
В Математике 11.3 команда
Код:
MatrixExp[{{0, t, 0, 0}, {t, 0, 0, a*t}, {0, 0, 0, -b*t}, {0, -a*t,b*t, 0}}] // FullSimplify

производит громоздкое выражение, которое можно увидеть здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
IrinaZub
После того как найден характеристический полином $P(z)$ матрицы $A$ (при $t=1$), мы представим
$$
\exp(tA)= F(z,t)P(z) + Q(z,t),\qquad\qquad\qquad(*)
$$
где $Q(z,t)$ полином порядка 3 от $z$:
$$
Q(z,t)= c_0(t)+c_1(t)z+c_2(t)z^2+c_3(t)z^3,
$$
как вам уже советовали. Чтобы найти его коэффициенты, подставьте в (*) $z=\zeta_j$ где $\zeta_j$ корни $P(z)$.

Ну и $\exp(tA)= Q(t,A)$ элементарно

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 11:26 


15/12/15
48
Red_Herring
Спасибо Вам за подсказку. :-)
Попробую так сделать. Потом напишу, что получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 15:26 


15/12/15
48
Red_Herring, спасибо еще раз! Ваш метод работает! :D

Я завтра заново на свежую голову проверю все вычисления и разберу все частные случаи, но пока получилось следующее.

Рассмотрим случай $a^2+b^2\neq1$.
Обозначим
$$z_1=\sqrt{\frac{1-a^2-b^2+\sqrt{(1-a^2-b^2)^2+4b^2}}{2}},\quad z_2=\sqrt{\frac{a^2+b^2-1+\sqrt{(1-a^2-b^2)^2+4b^2}}{2}},\quad z_1\neq z_2.$$
Тогда характеристический многочлен $P(z)$ имеет следующие корни: $z_1$, $-z_1$, $iz_2$, $-iz_2$.
Получаем:
$$c_0(t)=\frac{z_2^2\ch(z_1t)+z_1^2\cos(z_2t)}{z_1^2+z_2^2},\quad
c_1(t)=\frac{z_2^3\sh(z_1t)+z_1^3\sin(z_2t)}{z_1z_2(z_1^2+z_2^2)},$$
$$c_2(t)=\frac{\ch(z_1t)-\cos(z_2t)}{z_1^2+z_2^2},\quad
c_3(t)=\frac{z_2\sh(z_1t)-z_1\sin(z_2t)}{z_1z_2(z_1^2+z_2^2)}.$$
Тогда $$\exp(tA)=c_0(t)E+c_1(t)A+c_2(t)A^2+c_3(t)A^3.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение16.04.2018, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
IrinaZub в сообщении #1304779 писал(а):
Red_Herring, спасибо еще раз! Ваш метод работает! :D
Я завтра заново на свежую голову проверю все вычисления и разберу все частные случаи, но пока получилось следующее.
Рассмотрим случай $a^2+b^2\neq1$.


Ну это не совсем мой метод (а точнее, совсем не мой). Ну а если корни кратные, как в случаях $a=b$, $b=0$, то можно сказать "по непрерывности". И если не удается посчитать экспоненту, то надо посчитать не только $\exp(zt)$ в таких корнях, но и производные (до порядка кратности $-1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение17.04.2018, 05:31 


15/12/15
48
Red_Herring
Не могу сообразить, почему выполняется равенство (*). :-(
В левой части этого равенства вместо $A$ должно быть $z$, так?
Получается следующее.
1. Поскольку характеристический многочлен от $A$ имеет степень 4, то $\exp(tA)$ можно записать в виде
$$\exp(tA)=c_0(t)E+c_1(t)A+c_2(t)A^2+c_3(t)A^3,$$
т.е. как многочлен степени, вообще говоря, не выше 3, с коэффициентами, являющимися функциями от $t$.
2. Тогда справедливы равенства
$$\exp(tz_iE)=c_0(t)E+c_1(t)z_iE+c_2(t)z_i^2E+c_3(t)z_i^3E,\quad i=1,2,3,4,$$
где $z_i$ - корни характеристического многочлена для матрицы $A$.
Но откуда следуют эти равенства?

Ведь равенство (*) можно рассматривать как определение функции $F(z,t)$:
$$F(z,t)=(\exp(tz)-Q(z,t))\cdot P^{-1}(z),$$
где $t\in\mathbb{R}$, $z$ - квадратная матрица.
Тогда при $z=z_iE$ матрица $F(z,t)$ не определена, так как не существует $P^{-1}(z_iE)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение17.04.2018, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Возможность разложения (*) следует, например, из подготовительной теоремы Вейерштрасса (https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_preparation_theorem см Weierstrass division theorem). Вам $F$ до лампочки. Важно что существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение17.04.2018, 06:21 


15/12/15
48
Ref_Herring, спасибо за ссылку, я попробую разобраться. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group