Найти интеграл

[nortonouls]

Приветствую всех. Задание выглядит следующим образом:
$\int\limits_0^\pi \frac{x \sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$
Итак, порывшись в теории, нашёл в задачнике Демидовича следующие два свойства:
1: $\int\limits_0^\pi x f(\sin x)dx=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^\pi f(\sin x)dx$

2. $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx$

То есть задача сильно упрощается:
$\int\limits_0^\pi \frac{x \sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^\pi \frac{\sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$
А вот что делать дальше, не очень понятно. Что тут сделать с суммой двадцатых степеней? На первый взгляд, ни по частям, ни возможности сделать адекватную замену не вижу. Пожалуйста, помогите разобраться, что делать дальше

[grizzly]

nortonouls в сообщении #1302933 писал(а):

То есть задача сильно упрощается:
$\int\limits_0^\pi \frac{x \sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^\pi \frac{\sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$
А вот что делать дальше, не очень понятно.

А попробуйте последний интеграл справа представить в виде: $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx\ $

[thething]

Замена $y=\tg x$ рационализует последний интеграл. Правда, придется разбивать его на два интеграла.

[Sicker]

А через вычеты не проще?

[VPro]

Есть табличный интеграл
$\int_0^{\pi/2}{\frac{dx}{1+\tg^n x}}=\frac{\pi}{4}$.

[thething]

VPro
Вряд ли преподаватель примет такой табличный интеграл

[nortonouls]

thething в сообщении #1302938 писал(а):

Замена $y=\tg x$ рационализует последний интеграл. Правда, придется разбивать его на два интеграла.

От $0$ до $\frac{\pi}{2}$ и от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$?
Насколько я понимаю, картина будет такая:
$y=\tg x$
$\cos^{20} x=\frac{1}{(1+y^2)^{10}}$
$\sin^{20} x=\frac{y^{20}}{(1+y^2)^{10}}$
Дифференциал:
$dx=\frac{dy}{1+y^2}$
Итого:
$f(y)dy=\frac{y^{20}}{(1+y^{20})(1+y^2)}$
Так? И как брать такой интеграл?

[thething]

Оба интеграла сворачиваются в один в пределах от $-\infty$ до $+\infty$..

Как взять? Да как интеграл от любой рациональной функции, либо на простейшие дроби, либо Остроградским, либо вычетами.. Кстати, в числителе стОит прибавить и вычесть единицу, станет проще

[grizzly]

nortonouls
Попытаюсь дать ещё небольшую подсказку к своей прошлой. Попытайтесь доказать, что
$\int\limits_0^\pi \frac{\sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx = \int\limits_0^\pi \frac{\cos^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$, а потом сложить оба эти интеграла.

[nortonouls]

thething в сообщении #1302965 писал(а):

Оба интеграла сворачиваются в один в пределах от $-\infty$ до $+\infty$..

Как взять? Да как интеграл от любой рациональной функции, либо на простейшие дроби, либо Остроградским, либо вычетами.. Кстати, в числителе стОит прибавить и вычесть единицу, станет проще

Погодите, погодите, можно, пожалуйста, подробнее, как разбить, и как и почему они опять сворачиваются в один? Откуда $-\infty$, там же везде $+\frac{\pi}{2}$, нет?

-- 10.04.2018, 16:27 --

grizzly в сообщении #1302969 писал(а):

nortonouls
Попытаюсь дать ещё небольшую подсказку к своей прошлой. Попытайтесь доказать, что
$\int\limits_0^\pi \frac{\sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx = \int\limits_0^\pi \frac{\cos^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$, а потом сложить оба эти интеграла.

Спасибо, попробую

[thething]

nortonouls в сообщении #1302971 писал(а):

Откуда $-\infty$, там же везде $+\frac{\pi}{2}$, нет?

Но тангенс-то с одной стороны уходит в минус бесконечность.. Вспомните его график на интервале от $0$ до $\pi$

[nortonouls]

thething в сообщении #1302972 писал(а):

nortonouls в сообщении #1302971 писал(а):

Откуда $-\infty$, там же везде $+\frac{\pi}{2}$, нет?

Но тангенс-то с одной стороны уходит в минус бесконечность.. Вспомните его график на интервале от $0$ до $\pi$

Так предел в нуле же равен нулю, нет?

[thething]

nortonouls в сообщении #1302964 писал(а):

От $0$ до $\frac{\pi}{2}$ и от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$?

Вот Ваши слова (правильные). Только эти пределы надо пересчитать с учетом сделанной подстановки.

[nortonouls]

grizzly в сообщении #1302969 писал(а):

nortonouls
Попытаюсь дать ещё небольшую подсказку к своей прошлой. Попытайтесь доказать, что
$\int\limits_0^\pi \frac{\sin^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx = \int\limits_0^\pi \frac{\cos^{20} x}{\sin^{20} x+ \cos^{20} x}dx$, а потом сложить оба эти интеграла.

А верхний предел точно $\pi$? Не $\frac{\pi}{2}$?

-- 10.04.2018, 16:43 --

thething в сообщении #1302977 писал(а):

nortonouls в сообщении #1302964 писал(а):

От $0$ до $\frac{\pi}{2}$ и от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$?

Вот Ваши слова (правильные). Только эти пределы надо пересчитать с учетом сделанной подстановки.

Подстановка была $y=\tg x$. То есть:
При $x=0\Rightarrow$ $y=0$,
а при $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow$ $y=+\infty$
Так что же насчёт $-\infty$?

[grizzly]

nortonouls в сообщении #1302978 писал(а):

А верхний предел точно $\pi$? Не $\frac{\pi}{2}$?

А Вы думаете, что от $\pi/2$ до $\pi$ эти интегралы разные?