Цепная линия

[assik]

Как известно, цепная линия это линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. При выводе ее уравнения обычно исходят из условия механического равновесия с учетом действия сил тяжести и сил натяжения. Возник вопрос, можно ли вывести тоже самое уравнения, но исходя из принципа минимума потенциальной энергии. Рассуждения примерно такие. Раз нить нерастяжимая (неупругая), то ее потенциальная энергия полностью состоит из потенциальной энергии в поле силы тяжести. Эта энергия равна
$q\int_{0}^{a}f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$
где $q$ - вес единицы длины нити. Далее, необходимо минимизировать этот функционал. Применяя условия Эйлера - Лагранжа получаем уравнение
$1+f'^2-f''f=0$,
которое решить не удалось. Однако, как легко проверить, $f(x)=cosh(x)$ является ее частным решением. Хотелось бы узнать, есть ли ошибки в рассуждениях.

[pogulyat_vyshel]

забыли задать длину нити. условный экстремум искать надо

[Red_Herring]

Следует помнить, что если подынтегральное выражение (в вариационной задаче) не зависит явно от аргумента неизвестной функции, то...

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1302452 писал(а):

Следует помнить, что если подынтегральное выражение не зависит явно от аргумента функции, то...

Следует искать решение в виде экспонент

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1302462 писал(а):

Следует искать решение в виде экспонент

Если не можете не писать ерунду, то пожалуйста, пишите ее в своих собственных темах... И уж во всяком случае, не в ПРР...

[Markiyan Hirnyk]

Это ОДУ рассмотрено в справочнике Э. Камке, 4-е издание на рус. 1971 г. под номером 6.111. Общее решение выражается через гиперболические синус и косинус.

[guryev]

А ещё подстановкой $f'=p(f)$ можно получить уравнение с разделяющимися переменными.

[Markiyan Hirnyk]

guryev
В справочнике Э. Камке приведено решение 6.111 в 6.165, к которому переадресуется 6.111. Мэйпл и Математика также находят общее решение рассматриваемого ОДУ.
PS. Кстати, там обьяснено, что такое $p$.

[guryev]

(Оффтоп)

Тут можно по справочнику, можно самому. Каждому своё.

[pogulyat_vyshel]

Вы бы, ребятки, хоть учебник какой открыли. Задачка-то классическая .Не знать как в такой задаче вариационный принцип выписывается просто стыдно

[assik]

Red_Herring в сообщении #1302452 писал(а):

Следует помнить, что если подынтегральное выражение (в вариационной задаче) не зависит явно от аргумента неизвестной функции, то...

уравнение Эйлера также имеет первый интеграл вида $F-f'F_{f'}=C:$

$f(x)=\frac{C}{2}\left(e^{\frac{x}{C}}+e^{-\frac{x}{C}}\right)=C \cosh \frac{x}{C}.$

Получается как раз уравнение цепной линии.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1302716 писал(а):

Вы бы, ребятки, хоть учебник какой открыли. Задачка-то классическая .Не знать как в такой задаче вариационный принцип выписывается просто стыдно

Зачем? У них справочник есть

Вместо того, чтобы выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала

$$\int_{0}^l y\sqrt{1+y'^2}\,dx - \lambda \int_{0}^l \sqrt{1+y'^2}\,dx=\int_0^l L(y,y',x)\,dx$$

с $L=(y-\lambda)\sqrt{1+y'^2}$, можно воспользоваться правилом "если $L$ не зависит явно от $x$, то $y'\frac{\partial L}{\partil y'}-L=C$".

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика.

[thething]

Еще, для тех, кто не пользуется справочниками и не ищет решений в виде экспонент, добавлю ключевые слова: "интеграл энергии".. Вроде бы мелочь, а мне в голову засело, с тех пор как нас учили)

[Red_Herring]

thething в сообщении #1302763 писал(а):

добавлю ключевые слова: "интеграл энергии"

В Лагранжевой механике: да. Но в данном случае это выражение $y'L_{y'}-L$ энергией не будет ...