Предкомпактность

[hollo]

Являются ли предкомпактным в C[0; 1] множество $B$:

$ \left\lbrace x: x(t) = \int\limits_{0}^{t} y(s) ds, y\in C[0,1] \left\lvert\left\lvert y\right\rvert\right\rvert <1 \right\rbrace $

Чтобы доказать предкомпактность нужно доказать равномерную сходимость и равномерную непрерывность.

С первым все понятно. Нужно найти константу, которой ограниченны все функции.(это 2)
А вот со вторым сложности. Определение равномерной непрерывности
$\forall\varepsilon>0 \exists\delta(\varepsilon)>0 \forall t_1, t_2 \in[a,b] (\left\lvert t_1-t_2 \right\rvert < \delta) \Rightarrow (x(t_1)-x(t_2)<\varepsilon)$. Что делать дальше?

[Someone]

hollo в сообщении #1301547 писал(а):

равномерную сходимость и равномерную непрерывность

Вы это точно знаете? Насколько я помню, в теореме Арцела другие термины употребляются.

[hollo]

Someone
Ой, извиняюсь, опечатка вышла. Там равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность.

[DeBill]

hollo в сообщении #1301547 писал(а):

Что делать дальше?

Да то же самое - константу "2" вы же как то получили?
(И: в определении: пропущено - в нужном месте "для любого $x$ из $B$")

[Someone]

DeBill в сообщении #1301554 писал(а):

И: в определении: пропущено - в нужном месте "для любого $x$ из $B$"

Вы говорите о равностепенной непрерывности, а hollo формулирует определение равномерной непрерывности.

[hollo]

Так?
$\left\lvert x(t_1) - x(t_2) \right\rvert = \left\lvert \int\limits_{0}^{t_1}y(s)ds - \int\limits_{0}^{t_2}y(s)ds \right\rvert = \left\lvert \int\limits_{t_1}^{t_2}y(s)ds \right\rvert \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2} \left\lvert y(s) \right\rvert ds\leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2} 1ds = \left\lvert t_2-t_1\right\rvert\leqslant\varepsilon$

[DeBill]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1301555 писал(а):

а hollo формулирует определение равномерной непрерывности.

Дык, он, вроде, поправился - в части терминологии, по крайней мере; осталось и определение подработать, на что я и намекал...Толсто...

hollo
Ага. Только надо все чуток поаккуратнее оформлять. .. Вот, чему же надо взять равной эту самую "дельту"?

[hollo]

DeBill в сообщении #1301573 писал(а):

Вот, чему же надо взять равной эту самую "дельту"?

Если вы о том, что она должна быть больше нуля, то это я указывал в определении. А если нет, тогда я видимо не очень хорошо понимаю определение.

UPD. кажется понял: дельта должна быть на [0,2]

[thething]

hollo
Сперва четко выпишите определение равностепенной непрерывности.. Ну и придирка

hollo в сообщении #1301556 писал(а):

Так?
$\left\lvert x(t_1) - x(t_2) \right\rvert = \left\lvert \int\limits_{0}^{t_1}y(s)ds - \int\limits_{0}^{t_2}y(s)ds \right\rvert = \left\lvert \int\limits_{t_1}^{t_2}y(s)ds \right\rvert \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2} \left\lvert y(s) \right\rvert ds\leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2} 1ds = \left\lvert t_2-t_1\right\rvert\leqslant\varepsilon$

Откуда в конце у Вас взялся модуль? Если посчитать интеграл, то его там не будет. А появиться он должен.. Предлагаю поставить меньше или равно вместо равно.

[DeBill]

hollo в сообщении #1301577 писал(а):

я видимо не очень хорошо понимаю определение.

Видимо...
Ну, в определении говорится: для каждого эпсилон надо найти такое дельта, что блаблабла... Пусть эпсилон равно , например, 0.0001
Какое дельта следует взять?